YÜZDE PROBLEMLERİ

G. YÜZDE PROBLEMLERİ

A sayısının % a sı :

A nın % a sı ile B nin % b sinin toplamı :

A ya A nın % a sı eklenirse :

A dan A nın % a sı çıkarılırsa :

HAREKET PROBLEMLERİ

F. HAREKET PROBLEMLERİ

V : Hareketlinin hızı

x : Hareketlinin V hızıyla t sürede aldığı yol

t : Hareketlinin V hızıyla x yolunu alma süresi ise,

Aralarında x km olan iki araç saatte V1 km ve V2 km hızla aynı anda birbirine doğru hareket

ederlerse karşılaşma süresi

Bu iki araç aynı anda çembersel bir pistin, aynı noktasından zıt yönde aynı anda hareket

ederlerse karşılaşma süresi yine

Aralarında x km olan iki araç saatte V1 km ve V2 km hızla aynı anda aynı yönde hareket

ederlerse arkadaki aracın (V1 hızlı araç) öndekini yakalama süresi

Bu iki araç aynı anda çembersel bir pistin aynı noktasından aynı yönde hareket ederse hızı

büyük olan aracın hızı küçük olan aracıyakalama süresi yine

Eşit zamanda V1 ve V2 hızlarıyla alınan yolda hareketlinin ortalama hızı,

Belirli bir yolu V1 hızıyla gidip V2 hızıyla dönen bir aracın ortalama hızı,

İŞÇİ-HAVUZ PROBLEMLERİ

E. İŞÇİ - HAVUZ PROBLEMLERİ

Bir işi;A işçisi tek başına a saatte,B işçisi tek başına b saatte,C işçisi tek başına c

saatte yapabiliyorsa;

* A işçisi 1 saatte işin 1/a sını bitirir.

* A ile B birlikte t saatte işinsini bitirir.

A, B, C birlikte t saatte işin

Eğer üçü t saatte işi bitirmiş ise bu ifade 1 e eşittir.

A işçisi x saat, B işçisi y saat C işçisi z saat çalışarak işi bitiriyorsa,

Havuz problemleri işçi problemleri gibi çözülür.

A musluğu havuzun tamamını a saatte doldurabiliyor.

Tabanda bulunan B musluğu dolu havuzun tamamını tek başına b saatte boşaltabiliyor olsun.

Bu iki musluk birlikte bu havuzun t saatte

sını doldurur.

Bu havuzun dolması için b > a olmalıdır.

YAŞ PROBLEMLERİ

D. YAŞ PROBLEMLERİ

* Bir kişinin yaşı x ise,

* T yıl önceki yaşı : x - T olur.

* T yıl sonraki yaşı : x + T olur.

* Kişiler arasındaki yaş farkı her zaman aynıdır.

* İki kişinin yaşları oranı yıllara göre orantılı değildir.

* İki kişinin yaşları toplamı T yıl sonra 2T artar.

* n kişinin yaşları toplamı T yıl sonra n . T artar.

KESİR PROBLEMLERİ

C. KESİR PROBLEMLERİ

ye kesir denir.

* Herhangi bir sayı x olsun.

Bu sayının 1/a 'sı

Bu sayı 1/a sı kadar 1/a sı kadar artırılırsa :

Bu sayının a/b si ile c/d sinin toplamı :

MATEMATİK DİLİNE ÇEVİRME

A. PROBLEM ÇÖZME STRATEJİSİ

Bir soruyu çözmek için verilen zamanın % 75 ini soruyu anlamaya, % 17 sini çözme yolunu

oluşturmaya % 8 ini de soruyu çözmeye ayırmalısınız.

Buna göre, soruları çözerken;

1) Soru, verilenler ve istenen anlaşılana kadar okunur.

2) Verilenler matematik diline çevrilir.

3) Denklem çözme metodları ile matematik diline çevrilen denklem çözülür.4) Bulunanın, soru

cümlesinde istenen olup olmadığı kontrol edilir.

B. MATEMATİK DİLİNE ÇEVİRME

Verilen problemin x, y, a, b, c gibi sembollerle ifade edilmesine matematik diline çevirme denir.

1) Herhangi bir sayı x olsun.

Sayının a fazlası : x + a dır.

Sayının a fazlasının yarısı :

Sayının yarısının a fazlası :

Sayının küpünün a eksiği :

2) Herhangi iki sayı x ve y olsun.

Bu iki sayının toplamının a katı : a . (x + y) dir.

Bu iki sayının kareleri toplamı : x2 + y2 dir.

Bu iki sayının toplamının karesi : (x + y)2 dir.

3) Ardışık tam sayılardan en küçüğü x olsun.

Ardışık üç tam sayının toplamı :x + (x + 1) + (x + 2) dir.

Ardışık üç çift sayının toplamı :x + (x + 2) + (x + 4) tür.

DENKLEM ÇÖZME

BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER

A. TANIM
a ve b gerçel (reel) sayılar ve a ¹ 0 olmak üzere,

ax + b = 0 eşitliğine birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.

Bu denklemi sağlayan x değerlerine denklemin kökü, denklemin kökünün oluşturduğu kümeye denklemin çözüm kümesi denir.

B. EŞİTLİĞİN ÖZELLİKLERİ

1) a = b ise, a ± c = b ± c dir.
2) a = b ise, a . c = b . c dir.
3) a = b ise, a/b=b/c (c = değil 0')
4) a = b ise, an = bn dir.
5) a = b ise,

6) (a = b ve b = c) ise, a = c dir.Ü
7) (a = b ve c = d) ise, a ± c = b ± d
8) (a = b ve c = d) ise, a . c = b . d dir.
9) (a = b ve c = d) ise,

10) a . b = 0 ise, (a = 0 veya b = 0) dır.
11) a . b ¹ 0 ise, (a ¹ 0 ve b ¹ 0) dır.
12)a/b = 0 ise, (a = 0 ve b ¹ 0) dır.

C. ax + b = 0 DENKLEMİNİN ÇÖZÜM KÜMESİ

a ¹ 0 olmak üzere,ax + b = 0 ise,

(a = 0 ve b = 0) ise, ax + b = 0 denklemini bütün sayılar sağlar. Buna göre, reel (gerçel) sayılarda çözüm kümesi IR dir.

(a = 0 ve b ¹ 0) ise, ax + b = 0 denklemini sağlayan hiçbir sayı yoktur. Yani, Ç = Æ dir.

D. BİRİNCİ DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEM SİSTEMİ

a, b, c Î IR, a ve b 0 a eşit değilse,
ax + by + c = 0 denklemine birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem denir.

Bu denklem düzlemde bir doğru belirtir. Doğru üzerindeki bütün noktaların oluşturduğu ikililer denkle-min çözüm kümesidir.

Buna göre, ax + by + c = 0 denkleminin çözüm kümesi birçok ikiliden oluşur.

a, b, c Î IR olmak üzere,
ax + by + c = 0
denklemi her (x, y) Î IR2 için sağlanıyorsa
a = b = c = 0 dır.

Birden fazla iki bilinmeyenli denklemden oluşan sisteme birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemi denir.

Çözüm Kümesinin Bulunması

Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinin çözüm kümesi; yok etme yöntemi, yerine koyma yöntemi, grafik yöntemi, determinant yöntemi gibi yöntemlerden biri ile yapılır.
Biz burada üçünü vereceğiz.

a. Yok Etme Yöntemi:

Değişkenlerden biri yok edilecek biçimde verilen denklem sistemi düzenlenir ve taraf tarafa toplanır.
Taraf tarafa toplandığında veya çıkarıldığında (ya da bir düzenlemeden sonra) değişkenlerden biri sadeleşiyorsa “Yok etme yöntemi” kolaylık sağlar.

b. Yerine Koyma Yöntemi:

Verilen denklemlerin birinden, değişkenlerden biri çekilip diğer denklem-de yerine yazılarak sonuca gidilir.
Denklemlerin birinden, değişkenlerden biri kolayca çekilebiliyorsa, “Yerine koyma yöntemi” kolaylık sağlar.

c. Karşılaştırma Yöntemi:

Verilen denklemlerin iki-sinden de aynı değişken çekilir. Denklemlerin diğer tarafları karşılaştırılır (eşitlenir).

Her iki denklemden de aynı değişken kolayca çekilebiliyorsa, “Karşılaştırma yöntemi” kolaylık sağlar.

Ü ax + by + c = 0
dx + ey + f = 0
denklem sistemini göz önüne alalım:
Bu iki denklemin her birinin düzlemde bir doğru belirttiği göz önüne alınırsa üç durum olduğu görülür.

Birinci durum:

a/b eşit

ise, bu iki doğru tek bir noktada kesişir.
Verilen denklem sisteminin çözüm kümesi bir tek noktadan oluşur.

İkinci durum:

ise, bu iki doğru çakışıktır.
Doğru üzerindeki her nokta denklem sistemini sağlar.
Verilen denklem sisteminin çözüm kümesi sonsuz noktadan oluşur.

Üçüncü durum:

ise, bu iki doi ise bu iki doğru paraleldir.

Denklem sistemini sağlayan hiçbir nokta bulunamaz.

Verilen denklem sisteminin çözüm kümesi boş kümedir.