ORAN ORANTI

ORAN ORANTI

A. ORAN
a ve b reel sayılarının en az biri sıfırdan farklı olmak üzere, a/b ye a nın b ye oranı

denir.

· Kesrin payı sıfır olabilir fakat paydası sıfır olamaz.

· Oranın payı ya da paydası sıfır olabilir.

· Oranlanan çoklukların birimleri aynı tür ya da aynı olmalıdır.

· Oranın sonucu birimsizdir.

B. ORANTI

En az iki oranın eşitliğine orantı denir. Yani a/b oranı c/d ile nin eşitliği olan a/b=c/d ye orantı

denir.

ise a ile d ye dışlar, b ile c ye içler denir.

C. ORANTININ ÖZELLİKLERİ

1)

ise a.d= b.c

2)

3) m n den en az biri sıfırdan farklı olmak üzere,

4) a : b : c = x : y : z ise,

Burada, a = x . kb = y . kc = z . k dır.

D. ORANTI ÇEŞİTLERİ

1. Doğru Orantılı Çokluklar

Orantılı iki çokluktan biri artarken diğeri de aynı oranda artıyorsa ya da biri azalırken diğeri de

aynı oranda azalıyorsa bu iki çokluk doğru orantılıdır denir.

x ile y doğru orantılı ve k pozitif bir doğru orantı sabiti olmak üzere, y = k . x ifadesine doğru

orantının denklemi denir. Bu denklemin grafiği aşağıdaki gibidir.

· İşçi sayısı ile üretilen ürün miktarı doğru orantılıdır.

· Bir aracın hızı ile aldığı yol doğru orantılıdır.

2. Ters Orantılı Çokluklar

Orantılı iki çokluktan biri artarken diğeri aynı oranda azalıyorsa ya da biri artarken diğeri aynı

oranda azalıyorsa bu iki çokluk ters orantılıdır denir.x ile y ters orantılı ve k pozitif bir ters orantı

sabiti olmak üzere,
ifadesine ters orantının denklemi denir.

Bu denklemin grafiği aşağıdaki gibidir.

· İşçi sayısı ile işin bitirilme süresi ters orantılıdır.

· Bir aracın belli bir yolu aldığı zaman ile aracın hızı ters orantılıdır.

a, b ile doğru c ile ters orantılı ve k pozitif bir orantı sabiti olmak üzere,


E. ARİTMETİK ORTALAMA

n tane sayının aritmetik ortalaması bu n sayının toplamının n ye bölümüdür.Buna göre, x1, x2,

x3, ... , xn sayılarının aritmetik ortalaması,

· a ile b nin aritmetik ortalaması

. a, b, c biçimindeki üç sayının aritmetik ortalaması,

· n tane sayının aritmetik ortalaması x olsun.

Bu n tane sayının herbiri; A ile çarpılır, B ilave edilirse oluşan yeni sayıların aritmetik ortalaması

Ax + B olur.

F. GEOMETRİK ORTALAMA

n tane sayının geometrik ortalaması bu sayıların çarpımının n. dereceden köküdür.Buna göre,x1,

x2, x3, ... , xn sayılarının geometrik ortalaması

· a ile b nin geometrik ortalaması (orta orantılısı)

· a, b, c biçimindeki üç sayının geometrik ortalaması,

· a ile b nin aritmetik ortalaması geometrik ortalamasına eşit ise a = b dir.

G. HARMONİK (AHENKLİ) ORTA

x1, x2, x3, ... , xn sayılarının harmonik ortalaması

· a ile b nin harmonik ortalaması

· a, b, c gibi üç sayının harmonik ortalaması

· İki pozitif sayının aritmetik ortalaması A, geometrik ortalaması G ve harmonik ortalaması H ise,

i) G2 = A . H dır.

ii) H ≤ G ≤ A dır.

MATEMATİĞİN TARİHÇESİ

Ortaçağ
İslâm Dünyası'nda başta aritmetik olmak üzere,
matematiğin geometri, cebir ve trigonometri gibi
dallarına önemli katkılarda bulunan matematikçiler
yetişmiştir. Ancak bu dönemde gerçekleşen gelişme-
lerden en önemlisi, geleneksel Ebced Rakamları'nın yerine
Hintlilerden öğrenilen Hint Rakamları'nın kullanılmaya
başlanmasıdır.Konumsal Hint rakamları, 8. yüzyılda İslâm
Dünyası'na girmiş ve hesaplama işlemini kolaylaştırdığı için
matematik alanında büyük bir atılımın gerçekleştirilmesine
neden olmuştur.Daha önce Arap alfabesinin harflerinden
oluşan harf rakam sistemi kullanılıyordu ve bu sistemde
sayılar, sabit değerler alan harflerle gösteriliyordu. Örneğin
için a harfi, 10 için y harfi ve 100 içinse k harfi kullanılıyordu
ve dolayısıyla sistem konumsal değildi. Böyle bir rakam
sistemi ile işlem yapmak son derece güçtü.Erken tarihlerden
itibaren ticaretle uğraşanların ve aritmetikçilerin kullanmaya
başladıkları Hint Rakamları'nın üstünlüğü derhal farkedilmiş
ve yaygın biçimde kabul görmüştü. Bu rakamlar daha sonra
Batı'ya geçerek Roma Rakamları'nın yerini alacaktır.Cebir
bilimi İslâm Dünyası matematikçilerinin elinde bağımsız bir
disiplin kimliği kazanmış ve özellikle Hârizmî, Ebu Kâmil,
Kerecî ve Ömer el-Hayyâm gibi matematikçilerin yazmış
oldukları yapıtlar, Batı'yı büyük ölçüde etkilemiştir.İslâm
Dünyası'nda büyük ilgi gören ve geliştirilen bilimlerden
birisi olan astronomi alanındaki araştırmalara yardımcı olmak
üzere trigonometri alanında da seçkin çalışmalar yapılmıştır.
Bu konudaki en önemli katkı, açı hesaplarında kirişler yerine
sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant gibi trigonometrik
fonksiyonların kullanılmış olmasıdır.

Yeniçağ
Bu dönem diğer alanlarda olduğu gibi matematik alanında
da yeniden bir uyanışın gerçekleştiği ve özellikle
trigonometri ve cebir alanlarında önemli çalışmaların
yapıldığı bir dönemdir. Trigonometri, Regiomontanus,
daha sonra da Rhaeticus ve Bartholomaeus Pitiscus`un
çabalarıyla ve cebir ise Scipione del Ferro, Nicola
Tartaglia, Geronimo Cardano ve Lodovice Ferrari
tarafından yenidenhayata döndürülmüştür.Yapılan
çalışmalar sonucunda geliştirilen işlem simgeleri, şu
anda bizim kullandıklarımıza benzer denklemlerin
ortaya çıkmasına olanak vermiş ve böylelikle, denklem
kuramı biçimlenmeye başlamıştır. Rönesans matematiği
özellikle Raffaello Bombelli, François Viète ve Simon
Stevin ile doruk noktasına ulaşmıştır. 1585 yılında, Stevin,
aşağı yukarı Takîyüddîn ile aynı anda ondalık kesirleri
kullanmıştır.Bu dönemde çağdaş matematiğin temelleri
atılmış ve Pierre de Fermat sayılar kuramını, Pascal olasılık
kuramını, Leibniz ve Newton ise diferansiyel ve integral
hesabı kurmuşlardır.

Yakınçağ
Bu dönemde Euler ve Lagrange, integral ve diferansiyel
hesabına ilişkin 17. yüzyılda başlayan çalışmalar
ı sürdürmüş ve bu çalışmaların gök mekaniğine uygulanması
sonucunda fizik ve astronomi alanlarında büyük bir atılım
gerçekleştirilmiştir. Mesela Lagrange, Üç Cisim Problemi'nin
ilk özel çözümlerini vermiştir.Bu dönemde matematiğe daha
sağlam bir temel oluşturmaya yönelik felsefi ağırlıklı
çalışmalar genişleyerek devam etmiştir. Russell, Poincaré,
Hilbert ve Brouwer gibi matematikçiler, bu konudaki
görüşleriyle katkıda bulunmuşlardır.Russell, matematik
ile mantığın özdeş olduğunu kanıtlamaya çalışmıştır.
Matematiğin, sayı gibi kavramlarını, toplama ve çıkarma
gibi işlemlerini, küme, değilleme, veya, ise gibi mantık
terimleriyle ve matematiği ise "p ise q" biçimindeki
önermeler kümesiyle tanımlamıştır.Hilbert'e göre ise,
matematik soyut nesneleri konu alan simgesel bir sistemdir;
mantığa indirgenerek değil, simgesel aksiyomatik bir yapıya
dönüştürülerek temellendirilmelidir.Sezgici olan Brouwer
de matematiğin temeline, kavramlara somut içerik sağlayan
sezgiyi koyar; çünkü matematik bir teori olmaktan çok
zihinsel bir faaliyettir. Poincaré'ye göre de matematiğin
temelinde sezgi vardır ve matematik kavramlarının
tanımlanmaya elverişli olması gerekir.Yine bu dönemin en
orijinalmatematikçileri olarak Dedekind ve Cantor
sayılabilir. Dedekind, erken tarihlerden itibaren irrasyonel
sayılarla ilgilenmeye başlamış, rasyonel sayılar
alanının sürekli reel sayılar biçimine genişletilebi-
leceğini görmüştür. Cantor ise, bugünkü kümeler
kuramının kurucusudur.

BİRUNİ

BİRUNİ


Biruni (973 - 1051), Fars kökenli İslam bilgini.
Tam adı Ebu Reyhan Muhammed bin Ahmed el-Birûnî dir.
Batı dillerinde adı Alberuni veya Aliboron olarak geçer.
Gökbilim, matematik, doğa bilimleri, coğrafya ve tarih
alanındaki çalışmalarıyla tanınır. Yaşamı üstüne ayrıntılı
bilgi yoktur.
Yaşamı
4 Eylül 973'te Harezm'de doğdu. Birûnî, Harezm sarayında
astronomi ve matematik öğrendi. Harezm’deki kargaşalıklar
yüzünden bir süre İran'da kaldı. Ardından Ziyariler hükümdarı
Kabus bin Vaşmgir’in sarayına girdi. Bir tür tarih yapıtı olan
el-Âsârü'l-Bâkiye'yi (Geride Kalan Yüzyıllar) orada yazarak
sultana sundu. Harezm'e döndükten sonra, Sultan Memun
bin el-Memun'un sarayında İbni Sina, İbn Miskeveyh,
Ebu Nasr gibi bilginlerle birlikte çalıştı. Gazneli Mahmud'un
Harezm ülkesini fethetmesinden sonra Gazne kentine
yerleşti. Gazneli sarayında büyük saygı gördü. Son
yıllarını Gazne’de geçirdi ve burada öldü.
Orta Asya'lı büyük bilgin El Biruni, 4 Eylül 973 yılında
Harezm'in başkenti Kath yakınlarında doğdu. İlk öğrenimini
Yunan'lı bir bilginden aldı. Tanınmış ve seçkin bir aileden gelen
Harezm'li matematikçi ve gökbilimci birisi tarafından evlat
edinen El Biruni, ilk çalışmalarını bu alimin yanında yaptı. İlk
eseri, Asar-ül-Bakiye' dir.
El Biruni, o zamanın bilginleriyle Buhara'da tanışmış, evrenin
yapısı, serbest düşme ve diğer fizik yasalarını ve bölünmez
parçacıklar üzerinde mektupla yaptığı bazı tartışmalar vardır.
1010 yılında El-Memun Akademisi'ne kabul edildi. Gazneli
Mahmut Harezm'i işgal edince, El Biruni ile birlikte binlerce kişiyi
tutsak aldı. Bunu izleyen on yıl içinde astronomi ve matematik
çalışmalarının doruğuna erişti. Bu tutsaklığı sırasında,
anayurtlarından sürülmüş ve tutsak olan Hint'li bilginlerle
tanıştı. Birçok dilde ilmi çeviriler yaptı.
Astronomi üzerine yaptığı en iyi çalışmayı Gazneli Mahmut'un
oğlu Mesut'a sundu. Sultan Mesut kendisine bir fil yükü gümüşü
hediye edince, "Bu armağan beni baştan çıkarır, bilimden
uzaklaştırır" diyerek bu hediyeyi geri çevirdi.Bu sırada kardeşi
Gülce,Tan adında biriyle evlendi...Ve bir süre sonra 5 çocuğu oldu.
Eserlerinin sayısı yüz elliden fazladır. Yetmiş tane astronomi ve
yirmi tane de matematik kitabı vardır. Tıp, biyoloji, bitkiler,
madenler, hayvanlar ve yararlı otlar üzerinde bir dizin
oluşturmuştur. 1048 yılında 75 yaşındayken ölmüştür.
Mektuplarından, Aristoteles'i bildiği anlaşılır. İbni Sina gibi önemli
bilginlerle beraber çalışmıştır. Hindistan'a birçok kez gitti.
Bu nedenle Hindistan'ı konu alan bir kitap yazdı. Onun bu
kitabı birkaç dile çevrildi. Gerçek bir bilim anlayışına sahipti.
Irk kavramına önem vermezdi. Başka bir halkın ileri
kültüründen derin bir saygıyla söz ederdi. Bir tane de
romanı vardır. Elimizdeki eserlerinin sayısı yirmi üç kadardır.
Eserleri
Birûnî, değişik alanlarda pek çok kitap yazmıştır. Nihâyâtü'l-
Emâkin ("Mekânların Sonları") adlı yapıtı, coğrafyadan, jeoloji
ve jeodeziye (yeryüzü düzlemini ölçme bilgisi) kadar bir dizi
konudaki yazılarını içerir. Sultan Mesud'a sunduğu el-Kanunü'l-
Mesudi, Birûnî’nin astronomi alanındaki en önemli yapıtıdır.
Bilim tarihçilerine göre Birûnî, Kopernik'le başlayan çağdaş
astronominin temellerini atmıştır. Batlamyus ve Aristoteles'in
kuramlarına karşı çıkarak dünyanın durağan değil, dönen bir
kütle olduğunu ileri sürmüştür. Kitâbü’l-Camahir fi Marifeti'l-
Cevahir ("Cevherlerin Özellikleri Üstüne") adlı yapıtında, 23
katı cismin ve 6 sıvının özgül ağırlıklarını bugünkü değerlerine
çok yakın olarak saptamıştır.
Birûnî, bilim ve felsefe alanındaki çalışma ve araştırmalarında
büyük ölçüde İslam düşüncesinin etkisinde kalmıştır. Evrenin
"öncesiz" olmadığını, bir Tanrı'nın varlığına gereksinimi olduğunu
ileri sürmüştür. Birûnî bu savı ile, evrenin "öncesiz" olduğu
düşüncesini savunan İbn Sina'dan ayrılır. Batı'da "Aliboron"
adıyla bilinen Birûnî'nin yapıtları birçok Batı diline çevrilmiştir.

KARIŞIM PROBLEMLERİ

I. KARIŞIM PROBLEMLERİ

A kabında, tuz oranı % A olan x litrelik tuzlu su çözeltisi ile B kabında tuz oranı % B olan y litrelik

tuzlu su çözeltisi, boş olan C kabında karıştırılırsa oluşan x + y litrelik karışımın tuz oranı

Tuz oranı % A olan tuzlu su çözeltisinin su oranı

CAHİT ARF(1910-1997)

Cahit Arf (1910-1997)


Ülkemizde matematiğin simgesi haline gelen Cahit ARF 1910
yılında Selanik’te doğdu. 1932 yılında Galatasaray Lisesi’nde
matematik öğretmenliği, 1933 yılında İstanbul Üniversitesi
Fen Fakültesi’nde profesör yardımcısı (Doçent adayı )
olmuştur. Doktorasını 1938 yılında Almanya’da Göttingen
Üniversitesi’nde tamamladı. Daha sonra İstanbul Üniver-
sitesi’ne dönen ARF, 1943 de profesör, 1955’de Ordinaryus
Profesör oldu. 1964-1965 yılları arasında Fransa’da bulunan
Princiton’daki Yüksek Araştırma Enstitüsü’nde konuk
öğretim üyesi olarak görev yaptı.
1938 yılından beri Cahit ARF cebir, sayılar teorisi, elastisite
teorisi, analiz, geometri ve mühendislik matematiği gibi çok
çeşitli alanlarda yaptığı çalışmalarla matematiğe temel
katkılarda bulunmuş, yapısal ve kalıcı sonuçlar elde etmişti.
Bütün Türk matematikçilerine dolaylı veya dolaysız bir
şekilde esin kaynağı olmuş, yaptığı uyarılar ve verdiği fikirlerle
çevresindeki tüm matematikçilerin ufuklarını genişletmiş ve
çalışmalarını yeni bir bakış açısıyla yönlendirmelerini
sağlamıştır. Cahit ARF’ ın ilk çalışması, 1939 yılında
Almanya’nın ünlü bir matematik dergisi olan Crelle Journal
Dergisi’nde yayınlanmıştır.
Cahit ARF çözülebilen cebirsel denklemlerin bir listesini
yapmak amacıyla Göttingen’de ünlü matematikçi Hasse’nin
doktora öğrencisi oldu. Hasse’nin önerisiyle özel haller
problemini çözdü. Cahit ARF bu çalışmasıyla sayılar
teorisinde çok özel bir yeri olan lokal cisimlerde dallanma
teorisine çok önemli yapısal bir katkıda bulunmuştur.
Burada bulduğu sonuçlardan bir bölümü dünya matematik
literatüründe “Hasse-Arf Teoremi” olarak geçmektedir.
Bundan sonra uğraştığı problem, matematikte “kuadratik
formlar” olarak bilinen konudadır. Uzayda konisel yüzey
denklemleri buna basit bir örnek olarak gösterilebilir. Bu
konudaki temel problem, kuadratik formların bir takım
invaryantlar, yani değişmezler yardımıyla sınıflandırıl-
masıdır. Bu sınıflandırma Witt adında ünlü bir Alman
matematikçi tarafından karekteristiği ikiden farklı olan
cisimler için 1937 de yapılmıştır. Karekteristik iki olunca
problem çok daha zorlaşıyor ve Witt’in yöntemi
uygulanamıyordu. Cahit ARF bu problemle uğraştı ve
karekteristiği iki olan cisimler üzerindeki kuadratik
formları çok iyi bir biçimde sınıflandırdı. Bunların
invaryantlarını, yani değişmezlerini inşa etti. Bu
invaryantlar dünya literatüründe “Arf İnvaryantları”
olarak geçmektedir. Bu çalışması 1944 yılında Crelle
Dergisi’nde yayınlandı ve Cahit ARF ‘ı dünyaya tanıttı.
1945’lere gelindiğinde düzlem bir eğrinin herhangi bir
kolundaki çok kat noktaların çok katlılıklarının yalnız
aritmetiğe ait bir yöntemile nasıl hesaplanacağı iyi
bilinmekteydi. Düzlem halde algoritmanınbaşladığı
sayılar eğri kolunun parametreli denklemlerinden
bilinenbir kanuna göre elde ediliyordu. Genel
durumda ise böyle bir sonuç henüz bulunamamıştı. Bu
sıralarda İstanbul’da Patrick Du Val adında bir
İngiliz matematikçi bulunuyordu. Du Val genel halde
algoritmanın başladığı sayılara “karakter” adını vermiş
ve eğrinin tüm geometrik özellikleri bilindiği zaman
bu karakterlerin nasıl bulunacağını göstermişti. Bunun
tersi de doğruydu. Bu karakter bilinirse, eğrinin çok katlılık
dizisi, yani geometrik özellikleri de bulunabiliyordu. Burada
açık kalan problem ise bir eğrinin denklemleri verildiğinde
karakterlerini bulabilmek idi. Cevap düzlem eğriler için
bilinmekte, ama yüksek boyutlu uzaylarda bulunan tekil
eğriler için bilinmemekte idi. Ayrıca, yüksek boyutlu bir
uzayda tanımlanmış bir tekil eğrinin çok katlılık
özelliklerini, yani geometrik özelliklerini bozmadan
en düşük kaç boyutlu uzaya sokulabileceği de bu problemle
beraber düşünülen bir soru idi. Bu çeşit sorular matematiksel
bakış açısının temel problemi olan sınıflandırma
probleminin eğrilere uygulanması bakımından son derece
önemli ve zor . Cahit ARF bu problemi 1945’de tamamı
ile çözmüş ve tek boyutlu tekil cebirsel kolların
sınıflandırılması problemini kapatmıştır. Bu sonucun
zorluğu hakkında fikir elde edebilmek için düzgün
varyetelerin sınıflandırılması probleminin bugüne kadar
1,2 ve kısmen 3 boyutlu varyeteler için çözüldüğünü
tekilliklerinin sınıflandırılması probleminin
ise 1 boyutlu varyeteler, eğriler için Cahit ARF tarafından
çözüldüğünü göz önüne almak gerekir. Cahit ARF bu problemi
çözerken önemini gözlediği ve problemin çözümünde en
önemli rolü oynadığını fark ettiğini bazı halkalara
“karekteristik halka” adını vermiş ve daha sonra gelen
yabancı araştırmacılar bu halkalara “Arf Halkaları” ve
bunların kapanışlarına “Arf Kapanışları” adını
vermişlerdir. Cahit ARF’ın bu çalışması 1949 ‘da Proceedings
of London Matematical Society dergisinde yayınlanmıştır.
Cahit ARF’ın 1940’lı yıllarda yaptığı bu çalışmaların
günümüzde hala kullanılıyor olması, onun kalıcılığını
ispatlamıştır. Cahit ARF’ı ilk tanıyan bir kişi onun sadece
matematiğe ilgi duyan bir insan olduğu izlenimini
edinebilirdi. Cahit ARF için, matematik her şeyin üzerinde
ve ötesindeydi. Ancak, onu TÜBİTAK’ın kurulmasında ve
gelişmesinde gösterdiği çabayı ve özeni bilenler Cahit
ARF’ın öyle içine kapanık, matematikle uğraşan, dış dünya
ile ilgilenmeyen bir kişi olmadığını bilirler. Mühendisliğin
günlük hayattan doğan problemlerine her zaman ilgi
gösterirdi. Ama, bu probleme mutlaka matematiksel bir
model bulmaya çalışırdı. Hele bir de pratikten gelen
problemi matematik olarak çözüme kavuşursa
pek keyiflenirdi. Mustafa İNAN’la böyle bir işbirliği yapmış ve
İNAN’ın köprülerde gözlemleyip, araştırdığı bir sorunun
matematiksel kesin çözümünü vermiştir. Bu çalışmaları
Cahit ARF’a İnönü Ödülü’nü kazandırmıştır.Üniversitede
rektörlük, dekanlık gibi idari görevler almaktan kaçınmıştır.
Araştırmacıların bu gibi görevlerden uzak durmaları gerektiği
görüşündeydi. Ama uzun yıllar TÜBİTAK Bilim Kurulu Başkan-
lığı’nı da özveriyle yürütmüştür. Ortadoğu Teknik
Üniversitesi’nde bulunduğu yıllarda yeni ve farklı bir
üniversite modelinin ve kültürünün ortaya çıkması için
çaba göstermiştir. Akademik dünyanın yapay hiyerarşik
ayrımlarıyla alay etmiştir. Genç öğretim üyeleri ve
öğrencilerle çok güzel, yararlı ve keyifli diyalog
içindeydi. Her zaman üniversite içi çekişmelerden ve
politikadan özenle uzak durduğu halde, ODTÜ sistemi
tehlikeye düştüğünde duyarlı ve sorumlu bir bilim
adamı olarak kendini bir mücadelenin içine atmaktan
çekinmemiştir. Bu onurlu mücadele de bile matematiğin
aksiyomatik yaklaşımını kimseye farkettirmeden
kullanmıştır.Cahit ARF 1948’de İnönü Ödülü,
1974’de TÜBİTAK Bilim Ödülü, 1980’de İTÜ ve KATÜ Onur
Doktorası, 1981’de de ODTÜ Onur Doktorası’nı aldı.
Genç yaşta Mainz Akademisi Muhabir Üyeliğine seçildi ve
Türkiye Bilimler Akademisi Onur Üyesi oldu.
Cahit ARF matematikte kalıcı izler bırakarak 26 Aralık
1997 de aramızdan ayrılmıştır. Türkiye’de ve dünyada
her zaman hatırlanacaktır.