MANTIK VE ÖNERMELER

Doğru ya da yanlış hüküm bildiren ifadelere “önerme” denir.

Doğruluk değeri aynı olan önermelere denk önermeler denir.

Bir p önermesinin sonuna “değil” kelimesi getirerek hükmünün olumsuz yapılmasıyla elde
edilen yeni önermeye p önermesini olumsuzu (değili) denir.

En az iki önermenin “veya” , “ve” , “ise” , “ancak ve ancak” gibi bağlaçlardan en az birisi ile
birleştirilmesiyle elde edilen yeni önermelere “bileşik önermeler” denir.

P ile q önermelerinden oluşan “p v q” bileşik önermesi, p ile q önermelerinden az biri doğru iken
doğru, p ile q önermelerinden her ikisi de yanlış iken yanlıştır.

p ve q önermelerinden oluşan “p ^ q” bileşik önermesi , p ile q önermelerinden her ikisi
doğru iken doğru , diğer durumlarda yanlıştır.

^ ve v Bağlaçlarına Ait Özellikler

Tek Kuvvet Özelliği
pvp=p p^p=p

Değişme Özelliği
pvq=qvp p^q=q^p

Birleşme Özelliği
pv(q^r) v(p^q)vr
p^(qvr) ^(pvq)^r

Dağılma Özelliği
a) pv(q^r) =(pvq)^(pvr)
b) (p^q)vr =(pvr) ^(qvr)

De Morgan Kuralı
(pvq)' = p'^q' / (p^q)' = p'vq'

Totoloji ve Çelişki
Bir bileşik önermenin sonucu kendisini meydana getiren önermelerin bütün değerleri için 1
oluyorsa, bu bileşik önermeye totoloji; 0 oluyorsa, bu bileşik önermeye çelişki denir.

ARTHUR CAYLEY

8 yaşına kadar Rusya'nın Saint Petrsburg şehrinde yaşadı ve ailesi ile
birlikte Londra'ya döndü ve Kraliyet Koleji'ne ve Londra
Üniversitesi'ne gitti. Üniversite kariyerine, Cambridge'deki
Trinity Koleji'nde başladı. Hukuk üzerine de çalışan Cayley,
matematiksel araştırmalara ve basılan 200'ün üzerindeki
makalesine daha çok vakit ayırdı. Üniversitedeki statü
değişikliğinden sonra, Cambridge Üniversitesi'nde soyut matematik
üzerine profesör oldu. Çalışmalarına James Josef Sylvester ile
devam etmiş ve birbirlerinin eksik yönlerini tamamladıkları için
çok uyumlu bir ikili olmuşlardır.
En ünlü çalışması cebirsel değişmezler üzerine yaptığı
çalışmadır. Değişmezler kavramı modern fizik, özellikle rölativite
teorisi için çok büyük önem taşır. Cayley'in diğer çalışması, yüksek
boyutlu uzaylar üzerinedir. Öklit olmayan uzay geometrisinde,
Klein'in buluşları için yollar hazırlamıştır.Profesörlüğü sırasında,
bayanların yüksek eğitimde yer alıp, almaması konulu hararetle
tartışılmakta idi. Cayley bu konuya sessiz kalmamış ve bayanların
eğitimde kesinlikle yer alması gerektiğini savunmuş ve başarılı
olmuştu. Cayley ölümüne kadar çalışmalarına devam etmiş ve
geçirdiği uzun ve ağrılı hastalık sonucu ölmüştür. Sadece, Temel
Eliptik Fonksiyonlar adında bir kitap yazmıştır.

ALİ KUŞÇU

Türk-İslam Dünyası astronomi ve matematik alimleri arasında,
ortaya koyduğu eserleriyle haklı bir şöhrete sahip Ali Kuşçu,
Osmanlı Türklerinde, astronominin önde gelen bilgini sayılır.
"Batı ve Doğu Bilim dünyası onu 15. yüzyılda yetişen müstesna
bir alim olarak tanır." Öyle ki; müsteşrik W .Barlhold, Ali Kuşcu'yu
"On Beşinci Yüzyıl Batlamyos'u" olarak adlandırmıştır. Babası,
Uluğ Bey'in kuşcu başısı (doğancıbaşı) idi. Kuşçu soyadı
babasından gelmektedir. Asıl adı Ali Bin Muhammet'tir. Doğum
yeri Maveraünnehir bölgesi olduğu ileri sürülmüşse de, adı
geçen bölgenin hangi şehrinde ve hangi yılda doğduğu kesinlikle
bilinmektedir.
Ancak doğum şehri Semerkant, doğum yılının ise 15. yüzyılın
ilk dörtte biri içerisinde olduğu kabul edilmektedir. 16 Aralık
1474 (h. 7 Şaban 879) tarihinde İstanbul'da ölmüş olup, mezarı
Eyüp Sultan Türbesi hareminde bulunmaktadır. Ölüm tarihi;
torunu meşhur astronom Mirim Çelebi'nin (ölümü, Edirne 1525)
Fransça yazdığı bir eserin incelenmesi sonucu anlaşılmıştır.
Mezar yerinin 1819 yılına kadar belirli olduğu ve hüsnü
muhafazasının yapıldığı; ancak 1819 yılından sonra, Ali Kuşcu'ya
ait mezarın yerine, zamanının nüfuzlu bir devlet adamının mezar
taşının konmuş olduğu anlaşılmaktadır. Uluğ Bey'in Horasan ve
Maveraünnehir hükümdarlığı sırasında, Semerkant'ta ilk ve dini
öğrenimini tamamlamıştır. Küçük yaşta iken astronomi ve
matematiğe geniş ilgi duymuştur.
Devrinin en büyük bilginlerinden; Uluğ Bey , Bursalı Kadızade
Rumi, Gıyaseddün Cemşid ve Mu'in al-Din el-Kaşi'den astronomi
ve matematik dersi almıştır. Önce,Uluğ Bey, tarafından 1421 yılında
kurulan Semerkant Rasathanesi ilk müdürü, Gıyaseddün
Cemşid'in, kısa süre sonra da Rasathanenin ikinci müdürü Kadızade
Rumi'nin ölümü üzerine, Uluğ Bey Rasathane-ye müdür olarak Ali
Kuşcu'yu görevlendirmiştir. Uluğ Bey Ziyc'inin tamamlanmasında
büyük emeği geçmiştir. Nasirüddün Tusi'nin Tecrid-ül Kelam
adlı eserine yazdığı şerh, bu konuda da gayret ve başarısının
en güzel delilini teşkil etmektedir. Ebu Said Han'a ithaf edilen
bu şerh, Ali Kuşcu'nun ilk şöhretinin duyulmasına neden
olmuştur. Kaynakların değerlendirilmesi sonucu anlaşılmaktadır
ki; Ali Kuşcu yalnız telih eseriyle değil, talim ve irşadıyle devrini
aşan bir bilgin olarak tanınmaktadır. Öyle ki; telif eserlerinin dışında,
torunu Mirim Çelebi, Hoca Sinan Paşa ve Molla Lütfi (Sarı Lütfi)
gibi astronomların da yetişmesine sebep olmuştur. Bu bilginlerle
beraber, Ali Kuşcu'yu eski astronominin en büyük bilginlerinden
birisi olarak belirtebiliriz.

İŞLEM

A.TANIM

Herhangi bir A kümesinden A kümesine tanımlanan her fonksiyona birli işlem denir.
A C B olmak üzere, A x A kümesinden B kümesine tanımlanan her fonksiyona ikili işlem veya kısaca işlem denir.
İşemler; + , – , : , x, D ,o,¨ , *, « gibi simgelerle gösterilir.

B. İŞLEMİN ÖZELLİKLERİ
A kümesinde D ve * işlemleri tanımlanmış olsun. Buna göre, aşağıdaki 7 özelliği inceleyelim.

1. Kapalılık Özelliği
" a, b A'elemanı için aDb nin sonucu A kümesinin bir elemanı ise, A kümesi D işlemine göre kapalıdır.

2. Değişme özelliği
" a, b A'elemanı için, aD b = bD a ise, Dişleminin değişme özelliği vardır.

3. Birleşme Özelliği
" a, b, c A'elemanı için aD (b D c) = (Da b) Dc ise, D işleminin birleşme özelliği vardır.

4. Birim (Etkisiz) Eleman Özelliği
" x A'elemanı için, x D e = e D x = x ise, e ye Dişleminin etkisiz elemanı denir.
e A'elemanı ise,D işlemine göre A kümesi birim eleman özelliğine sahiptir.

5. Ters Eleman Özelliği

Dişleminin etkisiz elemanı e olsun.
" a A'elemanı için, aD b = bD a = e olacak biçimde bir b varsa b elemanına işlemine göre a nın tersi denir.
a nın tersi b ise genellikle b = a–1 biçiminde gösterilir.
b A'elemanı ise, D işlemine göre A kümesi ters eleman özelliğine sahiptir.

· Birim elemanın tersi kendisine eşittir.

· Tersi kendisine eşit olan her eleman birim eleman olmayabilir.

6. Dağılma Özelliği
" a, b, c A'elemanı için,
a o (bD c) = (a o b)D(a o c) ise,
o işleminin D işlemi üzerinde soldan dağılma özelliği vardır.
(a D b) o c = (a o c)D(b o c) ise,
o işleminin işlemi üzerinde sağdan dağılma özelliği vardır.
o işleminin D işlemi üzerinde; hem soldan, hem de sağdan dağılma özelliği varsa o işleminin D işlemi üzerinde dağılma özelliği vardır.

7. Yutan Eleman Özelliği
" x A'elemanı içinn, x D y = y D x = y olacak biçimde bir y varsa y ye D işleminin yutan elemanı denir.
y A'elemanı ise, D işlemine göre A kümesi yutan eleman özelliğine sahiptir.
Yutan elemanın tersi yoktur. Fakat tersi olmayan her eleman yutan eleman değildir.

C. TABLO İLE TANIMLANMIŞ İŞLEMLER
A = {a, b, c, d} kümesinde işlemi aşağıdaki tablo ile tanımlanmış olsun.

» b * c nin sonucu bulunurken, başlangıç sütununda b, başlangıç satırında c bulunur. Bunların kesiştiği bölgedeki eleman, b*c nin sonucudur. Buna göre, b * c = a dır.

» Başlangıç satırındaki ve başlangıç sütunundaki elemanların sonuçlarının görüldüğü kısımda A kümesine ait olmayan eleman yoksa A kümesi * işlemine göre kapalıdır.

» Sonuçlar kısmı, köşegene göre simetrik ise, * işleminin değişme özelliği vardır.

» Tablonun sonuçlar kısmında başlangıç sütununun ve başlangıç satırının görüldüğü sütunun ve satırın kesişimin deki eleman etkisiz elemandır.

» Yutan eleman hangi elemanla işleme girerse girsin, sonuç kendisine eşit olur. Bunun için, tablonun sonuçlar kısmında aynı elemandan oluşan satır ve sütun belirlenir. Bulunan yutan elemandır.

D. MATEMATİK SİSTEMLER
1. Tanım
A, boş olmayan bir küme olmak üzere, o işlemi A da tanımlı olsun.
(A, o) ikilisine matematik sistem denir.

2. Grup
A ≠ { }olmak üzere, A kümesinde tanımlı o işlemi aşağıdaki dört koşulu sağlıyorsa, A kümesio işlemine göre bir gruptur.

1. A, o işlemine göre kapalıdır.

2. A üzerinde o işleminin birleşme özelliği vardır.

3. A üzerinde o işleminin birim (etkisiz) elemanı vardır.

4. A üzerinde oişlemine göre her elemanın tersi vardır.

A üzerinde tanımlı o işleminin değişme özelliği de varsa (A,o) sistemi değişmeli gruptur.

3. Halka
A ≠ { }olmak üzere, A kümesi üzerinde tanımlı D ve o işlemleri aşağıdaki üç koşulu sağlıyorsa (A, D, o) sistemi bir halkadır.

1. (A, D) sistemi değişmeli gruptur.

2. A kümesi o işlemine göre kapalıdır.

3. o işleminin D işlemi üzerinde dağılma özelliği vardır.

» o işleminin değişme özelliği de varsa (A, D, o) sistemi değişmeli halkadır.
» o işleminin A kümesinde birim (etkisiz) elemanı da varsa (A, D, o) sistemine birim halka denir.

MUTLAK DEĞER

A. TANIM
Sayı doğrusu üzerinde x reel (gerçel) sayısının orijine olan uzaklığına x in mutlak değeri denir.
|x| biçiminde gösterilir.

Bütün x gerçel (reel) sayıları için, |x| ya sıfıra eşit yada büyüktür.Yani mutlak değerli ifadenin sonucu negatif olamaz.

B. MUTLAK DEĞERİN ÖZELLİKLERİ

1) |x| = |– x| ve |a – b| = |b – a| dır.
2) |x . y| = |x| . |y|
3) |xⁿ| = |x|ⁿ
4) y, 0'dan farklı olmak üzere,

5) |x| – |y| ≤ |x + y| ≤ |x| + |y|
6) x bir reel sayı ve 0≤a olmak üzere,
|x| = a ise, x = a veya x = – a dır.
7) |x| = |y| ise, x = y veya x = – y dir.
8) x değişken a ve b sabit birer reel (gerçel) sayı olmak üzere,

|x – a| + |x – b|

ifadesinin en küçük değeri a ≤ x ≤ b koşuluna uygun bir x değeri için bulunan sonuçtur.

9) x değişken a ve b sabit birer reel (gerçel) sayı olmak üzere,

|x – a| – |x – b|

ifadesinin en küçük değeri x = a için, en büyük değeri ise x = b için bulunur.

10) a, pozitif sabit bir reel sayı olmak üzere,

1. |x| <>

2. |x| ≤ a ise, – a ≤ x ≤ a dır.

11) a, pozitif sabit bir reel sayı olmak üzere,

1. |x| > a ise, x < – a veya x > a dır.

2. |x| ≤ a ise, x ≥ – a veya x ≤a dır.

BAĞINTI

SIRALI n Lİ

n tane nesnenin belli bir öncelik sırasına göre düzenlenip, tek bir nesne gibi düşünülmesiyle elde edilen ifadeye sıralı n li denir.
(a, b) sıralı ikilisinde;
a : Birinci bileşen,
b : İkinci bileşendir.
a, b den farklı ise, (a, b), (b, a) dan farklıdır.
(a, b) = (c, d) ise, (a = c ve b = d) dir.

B. KARTEZYEN ÇARPIM
A ve B herhangi iki küme olmak üzere, birinci bileşeni A kümesinden, ikinci bileşeni B kümesinden alınarak oluşturulan bütün sıralı ikililerin kümesine, A ile B nin kartezyen çarpımı denir.
A kartezyen çarpım B kümesi A x B ile gösterilir.
A x B = {(x, y) : x,A ve y, B nin elemanıdır} dir.
A, B den farklı ise, A x B, B x A dan farklıdır.

C. KARTEZYEN ÇARPIMININ ÖZELLİKLERİ
i) s(A) = m ve s(B) = n ise
s(A x B) = s(B x A) = m . n dir.
ii) A x (B x C) = (A x B) x C
iii) A x (B U C) = (A x B) U (A x C)
iv) (B n C) x A = (B x A) n (C x A)
v) A x (B U C) = (A x B) U (A x C)
vı) A x = O x A = O

Vıı)

D. BAĞINTI
A ve B herhangi iki küme olmak üzere A x B nin her alt kümesine A dan B ye bağıntı denir.
Bağıntı genellikle β biçiminde gösterilir.
β eleman A x B ise, β = {(x, y) : (x, y) eleman A x B} dir.
s(A) = m ve s(B) = n ise,
A dan B ye 2^m.n tane bağıntı tanımlanabilir.
A x A nın herhangi bir alt kümesine A dan A ya bağıntı ya da A da bağıntı denir.
s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere,
A dan B ye tanımlanabilen r elemanlı bağıntı sayısı

β eleman A x B olmak üzere,
β = {(x, y) : (x, y) eleman A x B} bağıntısının tersi
β ^-1 eleman B x A dır.
Buna göre, β bağıntısının tersi
β ^-1 = {(y, x) : (x, y) eleman β } dır.

E. BAĞINTININ ÖZELLİKLERİ
b , A da tanımlı bir bağıntı olsun.

1. Yansıma özelliği
A kümesinin bütün x elemanları için (x, x)
β ise, β yansıyandır.
"x eleman A için, (x, x) eleman β----> β yansıyandır.

2. Simetri özelliği
β bağıntısının bütün (x, y) elemanları için (y, x) eleman β ise, β simetriktir.
"(x, y) eleman β için (y, x) eleman β---->β simetriktir.
β bağıntısı simetrik ise β = β^-1 dir.
s(A) = n olmak üzere, A kümesinde tanımlanabilecek simetrik bağıntı sayısı

s(A) = n olmak üzere, A kümesinde tanımlanabilecek yansıyan bağıntı sayısı 2^{(n2 - n)} dir.

3. Ters Simetri özelliği
β bağıntısı A kümesinde tanımlı olsun.
x, y den farklı iken "(x, y) eleman β için (y, x) eleman değil β ise, β ters simetriktir.
β bağıntısında (x, x) elemanın bulunması ters simetri özelliğini bozmaz.

4. Geçişme özelliği
β , A da tanımlı bir bağıntı olsun.
"[(x, y) eleman β ve (y, z) eleman β] için (x, z) eleman β ise,

olmalı
β bağıntısının geçişme özelliği vardır.

F. BAĞINTI ÇEŞİTLERİ

1. Denklik Bağıntısı
β bağıntısı A kümesinde tanımlı olsun.
β ; Yansıma, Simetri, Geçişme özelliğini sağlıyorsa denklik bağıntısıdır. β denklik bağıntısı ve (x, y) eleman β ise, x denktir. y ye denir.
x denktir a ile ifade edilir
β denklik bağıntısı olmak üzere A da a elemanına denk olan bütün elemanların kümesine a nın denklik sınıfı denir.
–a biçiminde gösterilir.
Buna göre, a nın denklik sınıfının kümesi,
–a = {y : y eleman A ve (a, y) eleman β} olur.

2. Sıralama Bağıntısı
A kümesinde tanımlı b bağıntısında; Yansıma, Ters simetri, Geçişme özelliği varsa bağıntı sıralama bağıntısıdır.

FONKSİYONLAR

A.TANIM

A ve B boştan farklı olmak üzere, A dan B ye bir b bağıntısı verilmiş olsun. A nın her elemanı B nin elemanlarıyla en az bir kez ve en çok bir kez eşleniyorsa bu bağıntıya fonksiyon denir. Fonksiyonlar f ile gösterilir.
" x , A ve y, B nin elemanı olmak üzere, A dan B ye bir f fonksiyonu

f : A --> B ya da x--> f(x) = y biçiminde gösterilir.

Yukarıda A dan B ye tanımlanan f fonksiyonu
f = {(a, 1), (b, 1), (c, 2)... (d, 3)}
biçiminde de gösterilir.

» Her fonksiyon bir bağıntıdır. Fakat her bağıntı fonksiyon olmayabilir.
» Görüntü kümesi değer kümesinin alt kümesidir.
» s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere,

1. A dan B ye n^m tane fonksiyon tanımlanabilir.

2. B den A ya mⁿ tane fonksiyon tanımlanabilir.

3. A dan B ye tanımlanabilen fonksiyon olmayan bağıntıların sayısı 2^{m . n} – n^m dir.

» Grafiği verilen bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını anlamak için, y eksenine paralel doğrular çizilir. Bu doğrular fonksiyonun belirttiği eğride en az bir ve en çok bir noktayı kesi-yorsa verilen bağıntı x ten y ye bir fonksiyondur.

B. FONKSİYONLARDA DÖRT İŞLEM
f ve g birer fonksiyon olsun.

f : A --> IR
g : B --> IR

olmak üzere,

i) f ± g: A n B --> IR

(f ± g)(x) = f(x) ± g(x)

ii) f . g: A U B --> IR

(f . g)(x) = f(x) . g(x)

C. FONKSİYON ÇEŞİTLERİ

1. Bire Bir Fonksiyon
Bir fonksiyonda farklı elemanların görüntüleri de farklıysa fonksiyon bire birdir.
" x₁, x₂ A'nın elemanı , f(x₁) = f(x₂)iken
x₁ = x₂ ise f fonksiyonu bire birdir.Ayrıca x₁≠x₂ için

x₁)≠f(x₂) oldugu takdirde de fonksiyon birebirdir.
ü s(A) = m ve s(B) = n (n ≥ m) olmak üzere,

A dan B ye tanımlanabilecek bire bir fonksiyonların sayısı

2. Örten Fonksiyon
Görüntü kümesi değer kümesine eşit olan fonksiyonlara örten fonksiyon denir.
f : A --> B
f(A) = B ise, f örtendir.
» s(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen bire bir örten fonksiyonların sayısı
ü m! = m . (m – 1) . (m – 2) ... 3 . 2 . 1 dir.

3. İçine Fonksiyon
örten olmayan fonksiyona içine fonksiyon denir.
» İçine fonksiyonun değer kümesinde eşlenmemiş eleman vardır.
» s(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen içine fonksiyonların sayısı
m^m – m! dir.

4. Birim (Etkisiz) Fonksiyon
Her elemanı kendisine eşleyen fonksiyona birim fonksiyon denir.
f : IR --> IR
f(x) = x
birim (etkisiz) fonksiyondur.
» Birim fonksiyon genellikle I ile gösterilir.

5. Sabit Fonksiyon
Tanım kümesindeki bütün elemanları değer kümesindeki bir elemana eşleyen fonksiyona sabit fonksiyon denir.
» "x, A'nın elemanı ve c'de B'nin elemanı için

f : A --> B
f(x) = c

fonksiyonu sabit fonksiyondur.
ü s(A) = m, s(B) = n olmak üzere,
A dan B ye n tane sabit fonksiyon tanımlanabilir.

6. Çift ve Tek Fonksiyon
f : IR --> IR
f(– x) = f(x) ise, f fonksiyonu çift fonksiyondur.
f(– x) = – f(x) ise, f fonksiyonu tek fonksiyondur.
» çift fonksiyonların grafikleri Oy eksenine göre simetriktir.
» Tek fonksiyonların grafikleri orijine göre simetriktir.

D. EŞİT FONKSİYON

f : A --> B
g : A --> B

"x, A'nın elemanı için f(x) = g(x) ise, f fonksiyonu g fonksiyonuna eşittir.

E. PERMÜTASYON FONKSİYONU

f : A --> A

olmak üzere, f fonksiyonu bire bir ve örten ise, f fonksiyonuna permütasyon fonksiyon denir.
A = {a, b, c} olmak üzere, f : A --> A
f = {(a, b), (b, c), (c, a)}
fonksiyonu permütasyon fonksiyon olup


F. TERS FONKSİYON
f fonksiyonu bire bir ve örten ise, f nin tersi olan f ^{- 1} de fonksiyondur.

» Uygun koşullarda, f(a) = b ve f ^{- 1}(b) = a dır.
» f : IR --> IR, f(x) = ax + b ise, f ^{– 1}(x) = (x-b)/a dır.
»

» (f ^{– 1}) ^{– 1} = f dir.

» (f ^{– 1}(x)) ^{– 1} ¹ f(x) tir.
» y = f(x) in belirttiği eğri ile y = f ^{– 1}(x) in belirttiği eğri y = x doğrusuna göre simetriktir.
» B, IR'nin alt kümesi olmak üzere,

» B, IR'nin alt kümesi olmak üzere,

G. BİLEŞKE FONKSİYON
1. Tanım

f : A --> B
g : B --> C

olmak üzere, gof : A --> C fonksiyonuna f ile g nin bileşke fonksiyonu denir ve g bileşke f diye okunur.

(gof)(x) = g[f(x)] tir.

2. Bileşke Fonksiyonun Özellikleri

i) Bileşke işleminin değişme özelliği yoktur.

fog ≠ gof

Bazı fonksiyonlar için fog= gof olabilir. Fakat bu bileşke işleminin değişme özelliği olmadığını değiştirmez.

ii) Bileşke işleminin birleşme özelliği vardır.

fo(goh) = (fog)oh = fogoh

iii) foI = Iof = f
olduğundan I(x) = x fonksiyonu bileşke işleminin birim (etkisiz) elemanıdır.

iv) fof ^{– 1} = f ^{– 1}of = I
olduğundan f nin bileşke işlemine göre tersi f – 1 dir.

v) (fog) ^{– 1} = g ^{– 1}of ^{– 1} dir.

TABAN ARİTMETİĞİ

Taban Aritmetiği

Sayılar konusunda, iki basamaklı bir ( ab ) sayısının 10a + b şeklinde,

üç basamaklı bir ( abc ) sayısının 100a + 10b + c şeklinde,

dört basamaklı bir ( abcd ) sayısının 1000a + 100b + 10c + d şeklinde

çözümlendiğini ve basamak sayısı arttıkça bu durumun benzer şekilde devam ettiğini öğrenmiştik.

Görüldüğü gibi, herhangi bir ( abc . . . ) sayısının yazılmasında kullanılan rakamlar,

10 sayısının kuvvetleri ile çarpılarak değerlendiriliyorlar.

---

İşte burada bu şekilde bir görev üstlenen 10 sayısına sayı tabanı ya da sadece taban adı verilir.

---

Kullandığımız sayı sisteminin tabanı 10 ' dur.

---

Taban olarak 10 sayısının yerine herhangi bir başka sayma sayısı da kullanılabilir.

Taban Aritmetiği konusunda, bununla ilgili problemleri inceleyeceğiz.

---

Herhangi bir " p " tabanında yazılmış bir sayının 10 tabanında karşılığını bulmak:

Bir sayının herhangi bir " p " tabanında yazıldığı belirtileceği zaman, ( abc . . . )_p yazılışı kullanılır.

Bu sayının 10 tabanındaki karşılığını bulmak, bu sayıyı çözümlemek demektir.

Bir " p " tabanında yazılmış bir sayının çözümlenmesi işlemi, 10 tabanındaki çözümleme işlemi gibidir. Sadece 10 sayısı yerine " p " sayısı kullanılır.

İki basamaklı bir ( ab )_p sayısı a.p + b şeklinde,

üç basamaklı bir ( abc )_p sayısı a.p² + b.p + c şeklinde,

dört basamaklı bir ( abcd )_p sayısı a.p³ + b.p² + c.p + d şeklinde çözümlenir ve

basamak sayısı arttıkça bu durum benzer şekilde devam eder.

---

( abcd )_p = a.p³ + b.p² + c.p + d

---

ÖRNEKLER :

1) ( 702 )9	= 7.92 + 0.9 + 2	= 7.81 + 0 + 2	= 567 + 2	= 569
2) ( 702 )8	= 7.82 + 0.8 + 2	= 7.64 + 0 + 2	= 448 + 2	= 450
3) ( 343 )5	= 3.52 + 4.5 + 3	= 3.25 + 20 + 3	= 75 + 23	= 98
4) ( 1011 )2	= 1.23 + 0.22 + 1.2 + 1	= 8 + 0 + 2 + 1	= 11
5) ( 1011 )3	= 1.33 + 0.32 + 1.3 + 1	= 27 + 0 + 3 + 1	= 31
6) ( 1000 )7	= 1.73 + 0.72 + 0.7 + 0	= 343 + 0 + 0 + 0	= 343

---

10 tabanında yazılmış bir sayının bir " p " tabanında yazılışını bulmak :

10 tabanında yazılmış sayı A olsun. A sayısının p tabanındaki yazılışını bulmak için, A sayısı p ile bölünür. Bu bölmede elde edilen bölüm, p sayısına eşit ya da p sayısından büyükse, bölüm p ile bölünür. Bu işleme, elde edilen bölüm p sayısından küçük oluncaya kadar devam edilir. Elde edilen bölüm p sayısından küçük olduğu zaman, bu bölüm ve tüm bölme işlemlerindeki kalanlar, sondan başa doğru, ilk bölme işlemindeki kalan birler basamağına gelecek şekilde sıralanır. Böylece A sayısının p tabanında yazılışı elde edilmiş olur.

Bu yolla 96 sayısının 8 , 7 ve 6 tabanlarındaki yazılışlarını ayrı ayrı bulalım.

1) 96 sayısının 8 tabanında yazılışı:

96 sayısı 8 ile bölününce bölüm 12, kalan 0 olur.

96 = 8 . 12+ 0

Bölüm olan 12 sayısı 8' den büyüktür. 12, 8 ile bölünür. Bu bölme işleminde de bölüm 1, kalan 4 olur.

12 = 8 . 1 + 4

Şimdi bölüm olan 1 sayısı 8' den küçüktür.

Son bölüm olan 1 sayısı en başa, ilk kalan olan 0 sayısı en sona gelecek şekilde, 1, 4 ve 0 sayıları yanyana yazılır. Böylece 96 sayısının 8 tabanında yazılışı 140 olarak elde edilmiş olur.

96 = ( 140 )₈

2) 96 sayısının 7 tabanında yazılışı: 96 = 7 . 13 + 5 13 = 7 . 1 + 6 96 = ( 165 )7

3) 96 sayısının 6 tabanında yazılışı: 96 = 6 . 16 + 0 16 = 6 . 2 + 4 96 = ( 240 )6

Bir bölme işleminde, kalan daima bölenden küçüktür. Buna göre, bir sayının bir p tabanındaki yazılışında, kullanılan sayıların hepsi " p " den küçük olmalıdır.

---

( abcd )_p yazılışında a, b, c ve d, " p " den küçük sayılar olmalıdır.

---

Örneğin ( 240 )₃ yazılışı yanlıştır, çünkü sayı tabanı 3 olduğu halde, sayı yazılırken üçten büyük olan 4 kullanılmıştır.

Bunun gibi, ( 2406 )₆ yazılışı da yanlıştır, çünkü sayı tabanı 6 olduğu halde, sayı yazılırken de 6 kullanılmıştır.

Herhangi bir p tabanında yazılmış ondalık bir sayının 10 tabanında karşılığını bulmak:

10 tabanında yazılmış bir ondalık sayı, örneğin 37,254 sayısı aşağıdaki gibi çözümlenir :

37,254 = 3 . 10 + 7 + 2 . 10^-1 + 5 . 10^-2 + 4 . 10^-3

Bunun gibi, herhangi bir p tabanında yazılmış ondalık bir sayının 10 tabanındaki karşılığını bulmak, yani bu sayıyı çözümlemek için, taban olan p sayısı, yukarıdaki açılımda 10 sayısının kullanıldığı gibi kullanılır. Örneğin ( 37,254 )₈ = 3 . 8 + 7 + 2 . 8^-1 + 5 . 8^-2 + 4 . 8^-3 = 31,3359375 olur.

---

( ab,cde )_p = a.p + b + c.p^-1 + d.p^-2 + e.p^-3

EBOB - EKOK

A. EN BÜYÜK ORTAK BÖLEN (EBOB YA DA OBEB)

En az biri sıfırdan farklı iki ya da daha fazla tam sayının ortak bölenlerinin en büyüğüne bu sayıların ortak bölenlerinin en büyüğü denir ve EBOB biçiminde gösterilir.

EBOB bulunurken verilen sayılar asal çarpanlarına ayrılır. Ortak olan asal çarpanlardan
büyük olmayan üslülerin çarpımı bu sayıların EBOB'unu verir.

• Eğer a ¹ 0 veya b ¹ 0 ise EBOB tanımlı olup EBOB(a, b) ³ 1 dir.
• a = b = 0 ise EBOB(a, b) tanımsızdır.
• 
  

B. EN KÜÇÜK ORTAK KAT (EKOK ya da OKEK)

Hepsi sıfırdan farklı iki ya da daha fazla tam sayının pozitif ortak katlarının en küçüğüne bu sayıların ortak katlarının en küçüğü denir ve EKOK biçiminde gösterilir.

EKOK bulunurken verilen sayılar asal çarpanlarına ayrılır. Ortak olan asal çarpanlardan küçük olmayan üslülerin çarpımı bu sayıların EKOK'unu verir.

• a ve b tam sayılarından en az biri sıfır ise, EKOK(a, b) tanımsızdır.

a ve b pozitif tamsayı, a £ b ise,

• EBOB(a, b) £ a £ b £ EKOK(a, b)
• a . b = EBOB(a, b) . EKOK(a, b)
• a ile b aralarında asal ise, EBOB(a, b) = 1
• kesirleri ile tam bölünen en küçük pozitif kesir

• a ve b pozitif tam sayı olmak üzere,

• İki pozitif tam sayının çarpımı, bu sayıların EBOB' u ile EKOK'unun çarpımına eşittir. Fakat ikiden fazla pozitif tam sayının çarpımı, bu sayıların EBOB'u ile EKOK'unun çarpımına her zaman eşit değildir.
• A pozitif tam sayısı a . b ile tam bölünebiliyor ve EKOK(a, b) = x ise, A sayısı x ile tam bölünür.

BÖLME BÖLÜNEBİLME

A. BÖLME

A, B, C, K birer doğal sayı ve B ¹ 0 olmak üzere,

• A ya bölünen, B ye bölen, C ye bölüm, K ya kalan denir.
• A = B . C + K dır.
• Kalan, bölenden küçüktür. (K <>Kalan, bölümden (C den) küçük ise, bölen (B) ile bölümün (C) yeri değiştirilebilir.
• K = 0 ise, A sayısı B ile tam bölünebiliyor denir.

B. BÖLÜNEBİLME KURALLARI

1. 2 İle Bölünebilme

Birler basamağındaki rakamı çift olan sayılar 2 ile tam bölünür.

Tek sayıların 2 ile bölümünden kalan 1 dir.

2. 3 İle Bölünebilme

Rakamlarının sayısal değerleri toplamı 3 ün katı olan sayılar 3 ile tam bölünür.

Bir sayının 3 ile bölümünden kalan, rakamlarının toplamının 3 ile bölümünden kalana eşittir.

3. 4 İle Bölünebilme

Bir sayının onlar basamağındaki rakam ile birler basamağındaki rakamın (son iki
basamak) belirttiği sayı, 4 ün katı olan sayılar 4 ile tam bölünür.

… abc sayısının 4 ile bölümünden kalan bc nin (son iki basamak) 4 ile bölümünden
kalana eşittir.

l… abc sayısının 4 ile bölümünden kalan

c + 2 . b nin 4 ile bölümünden kalana eşittir.

4. 5 İle Bölünebilme

Birler basamağındaki rakam 0 veya 5 olan sayılar 5 ile tam bölünür.

Bir sayının 5 ile bölümünden kalan, o sayının birler basamağındaki rakamın 5 ile bölümünden kalana eşittir.

5. 7 İle Bölünebilme

(n + 1) basamaklı anan-1 … a₄a₃a₂a₁a₀ sayısının 7 ile tam bölünebilmesi için,

k Î Z olmak üzere,

(a₀ + 3a₁ + 2a₂) – (a₃ + 3a₄ + 2a₅) + … = 7k olmalıdır.

Ü Birler basamağı a0, onlar basamağı a1, yüzler basamağı a2, … olan sayının 7 ile bölümünden kalan (a₀ + 3a₁ + 2a₂) – (a₃ + 3a₄ + 2a₅) + … işleminin sonucunun 7 ile bölümünden kalana eşittir.

6. 8 İle Bölünebilme

Yüzler basamağındaki, onlar basamağındaki ve birler basamağındaki rakamların (son üç rakamın) belirttiği sayı 8 in katı olan sayılar 8 ile tam bölünür.

3000, 3432, 65104 sayıları 8 ile tam bölünür.

Ü Birler basamağı c, onlar basamağı b, yüzler
basamağı a, … olan sayının 8 ile bölümünden kalan c + 2 . b + 4 . a toplamının
8 ile bölümünden kalana eşittir.

7. 9 İle Bölünebilme

Rakamlarının toplamı 9 un katı olan sayılar 9 ile tam bölünür.

Bir sayının 9 ile bölümünden kalan, o sayının rakamlarının toplamının 9 ile bölümünden kalana eşittir.

8. 10 İle Bölünebilme

Birler basamağındaki rakamı 0 (sıfır) olan sayılar 10 ile tam bölünebilir. Bir sayının birler basamağındaki rakam o sayının 10 ile bölümünden kalandır.

9. 11 İle Bölünebilme

(n + 1) basamaklı anan–1 … a₄a₃a₂a₁a₀ sayısının 11 ile tam bölünebilmesi için

(a₀ + a₂ + a₄ + …) – (a₁ + a₃ + a₅ + …)… = 11 . k ve k Î Z olmalıdır.

® (n + 1) basamaklı anan–1 … a₄a₃a₂a₁a₀
sayı-sının 11 ile bölümünden kalan (a₀ + a₂ + a₄ + …) – (a₁ + a₃ + a₅ + …)… işleminin sonucunun 11 ile bölümünden kalana eşittir.

Aralarında asal iki sayıya bölünebilen bir sayı, bu iki sayının çarpımına da tam bölünür.

• 2 ve 3 ile tam bölünen sayılar 6 ile de bölünür.
• 3 ve 4 ile tam bölünen sayılar 12 ile de bölünür.

C. BÖLEN KALAN İLİŞKİSİ

A, B, C, D, E, K₁, K₂ uygun koşullarda birer doğal sayı olmak üzere,

A nın C ile bölümünden kalan K₁ ve

B nin C ile bölümünden kalan K₂ olsun.

Buna göre,

• A . B nin C ile bölümünden kalan K₁ . K₂ dir.
• A ± B nin C ile bölümünden kalan K₁ ± K₂ dir.
• D . A nın C ile bölümünden kalan D . K₁ dir.
• A^E nin C ile bölümünden kalan K₁^E
  dir.

Burada kalan değerler bölenden (C den) büyük ise, tekrar C ile bölünerek kalan bulunur.

D. ÇARPANLAR İLE BÖLÜM

Bir A doğal sayısı B . C ile tam bölünüyorsa A sayısı B ve C doğal sayılarıyla
da bölünebilir. Fakat bu ifadenin karşıtı (A sayısı B ile ve C ile tam bölünüyorsa
A sayısı B . C ile tam bölünür.) her zaman doğru değildir.

• 144 sayısı 2 . 6 = 12 ile tam bölünür ve 144 sayısı 2 ile ve 6 ile de tam
  bölünür.
• 6 sayısı 2 ile ve 6 ile tam bölünür. Fakat 6 sayısı 2 . 6 = 12 ile tam bölünemez.

E. BİR TAM SAYININ TAM BÖLENLERİ

Bir tam sayının, asal sayıların çarpımı biçiminde yazıl-masına bu sayının asal çarpanlarına ayrılması denir.

a, b, c birbirinden farklı asal sayılar ve m, n, k pozitif tam sayılar olmak
üzere,

A = a^m . bⁿ . c^k olsun.

• A yı tam bölen asal sayılar a, b, c dir.
• A sayısının pozitif tam bölenlerinin sayısı: (m + 1) . (n + 1) . (k + 1) dir.
• A sayısının pozitif tam bölenlerinin ters işaret-lileri de negatif tam bölenidir.
• A sayısının tam sayı bölenleri sayısı:

2 . (m + 1) . (n + 1) . (k + 1) dir.

• A sayısının tam sayı bölenleri toplamı 0 (sıfır) dır.
• A sayısının pozitif tam bölenlerinin toplamı :

• A sayısının asal olmayan tam sayı bölenlerinin sayısı, A nın tam sayı bölenlerinin sayısından A nın asal bölenlerinin sayısı çıkarılarak bulunur.
• A nın asal olmayan tam sayı bölenleri toplamı – (a + b + c) dir.
• A sayısından küçük A ile aralarında asal olan sayıların sayısı:

• A sayısını pozitif tam sayı bölenlerinin çarpımı:

FAİZ PROBLEMLERİ

H. FAİZ PROBLEMLERİ

F : Faiz miktarı

A : Ana para (Kapital)

n : Yıllık faiz oranı

t : Kapitalin faizde kalma süresiolmak üzere,

t yılda,

t ayda,

t günde

Faize yatırılan para her yıl getirdiği faiz ile birlikte tekrar faize yatırılırsa elde edilen toplam faize

bileşik faiz denir.Buna göre, A TL yıllık bileşik faiz oranı % n olan bir bankaya yatırılıyor. t yıl

sonra

YÜZDE PROBLEMLERİ

G. YÜZDE PROBLEMLERİ

A sayısının % a sı :

A nın % a sı ile B nin % b sinin toplamı :

A ya A nın % a sı eklenirse :

A dan A nın % a sı çıkarılırsa :

HAREKET PROBLEMLERİ

F. HAREKET PROBLEMLERİ

V : Hareketlinin hızı

x : Hareketlinin V hızıyla t sürede aldığı yol

t : Hareketlinin V hızıyla x yolunu alma süresi ise,

Aralarında x km olan iki araç saatte V1 km ve V2 km hızla aynı anda birbirine doğru hareket

ederlerse karşılaşma süresi

Bu iki araç aynı anda çembersel bir pistin, aynı noktasından zıt yönde aynı anda hareket

ederlerse karşılaşma süresi yine

Aralarında x km olan iki araç saatte V1 km ve V2 km hızla aynı anda aynı yönde hareket

ederlerse arkadaki aracın (V1 hızlı araç) öndekini yakalama süresi

Bu iki araç aynı anda çembersel bir pistin aynı noktasından aynı yönde hareket ederse hızı

büyük olan aracın hızı küçük olan aracıyakalama süresi yine

Eşit zamanda V1 ve V2 hızlarıyla alınan yolda hareketlinin ortalama hızı,

Belirli bir yolu V1 hızıyla gidip V2 hızıyla dönen bir aracın ortalama hızı,

İŞÇİ-HAVUZ PROBLEMLERİ

E. İŞÇİ - HAVUZ PROBLEMLERİ

Bir işi;A işçisi tek başına a saatte,B işçisi tek başına b saatte,C işçisi tek başına c

saatte yapabiliyorsa;

* A işçisi 1 saatte işin 1/a sını bitirir.

* A ile B birlikte t saatte işinsini bitirir.

A, B, C birlikte t saatte işin

Eğer üçü t saatte işi bitirmiş ise bu ifade 1 e eşittir.

A işçisi x saat, B işçisi y saat C işçisi z saat çalışarak işi bitiriyorsa,

Havuz problemleri işçi problemleri gibi çözülür.

A musluğu havuzun tamamını a saatte doldurabiliyor.

Tabanda bulunan B musluğu dolu havuzun tamamını tek başına b saatte boşaltabiliyor olsun.

Bu iki musluk birlikte bu havuzun t saatte

sını doldurur.

Bu havuzun dolması için b > a olmalıdır.

YAŞ PROBLEMLERİ

D. YAŞ PROBLEMLERİ

* Bir kişinin yaşı x ise,

* T yıl önceki yaşı : x - T olur.

* T yıl sonraki yaşı : x + T olur.

* Kişiler arasındaki yaş farkı her zaman aynıdır.

* İki kişinin yaşları oranı yıllara göre orantılı değildir.

* İki kişinin yaşları toplamı T yıl sonra 2T artar.

* n kişinin yaşları toplamı T yıl sonra n . T artar.

KESİR PROBLEMLERİ

C. KESİR PROBLEMLERİ

ye kesir denir.

* Herhangi bir sayı x olsun.

Bu sayının 1/a 'sı

Bu sayı 1/a sı kadar 1/a sı kadar artırılırsa :

Bu sayının a/b si ile c/d sinin toplamı :