MANTIK VE ÖNERMELER

Doğru ya da yanlış hüküm bildiren ifadelere “önerme” denir.

Doğruluk değeri aynı olan önermelere denk önermeler denir.

Bir p önermesinin sonuna “değil” kelimesi getirerek hükmünün olumsuz yapılmasıyla elde
edilen yeni önermeye p önermesini olumsuzu (değili) denir.

En az iki önermenin “veya” , “ve” , “ise” , “ancak ve ancak” gibi bağlaçlardan en az birisi ile
birleştirilmesiyle elde edilen yeni önermelere “bileşik önermeler” denir.

P ile q önermelerinden oluşan “p v q” bileşik önermesi, p ile q önermelerinden az biri doğru iken
doğru, p ile q önermelerinden her ikisi de yanlış iken yanlıştır.

p ve q önermelerinden oluşan “p ^ q” bileşik önermesi , p ile q önermelerinden her ikisi
doğru iken doğru , diğer durumlarda yanlıştır.

^ ve v Bağlaçlarına Ait Özellikler

Tek Kuvvet Özelliği
pvp=p p^p=p

Değişme Özelliği
pvq=qvp p^q=q^p

Birleşme Özelliği
pv(q^r) v(p^q)vr
p^(qvr) ^(pvq)^r

Dağılma Özelliği
a) pv(q^r) =(pvq)^(pvr)
b) (p^q)vr =(pvr) ^(qvr)

De Morgan Kuralı
(pvq)' = p'^q' / (p^q)' = p'vq'

Totoloji ve Çelişki
Bir bileşik önermenin sonucu kendisini meydana getiren önermelerin bütün değerleri için 1
oluyorsa, bu bileşik önermeye totoloji; 0 oluyorsa, bu bileşik önermeye çelişki denir.

ARTHUR CAYLEY

8 yaşına kadar Rusya'nın Saint Petrsburg şehrinde yaşadı ve ailesi ile
birlikte Londra'ya döndü ve Kraliyet Koleji'ne ve Londra
Üniversitesi'ne gitti. Üniversite kariyerine, Cambridge'deki
Trinity Koleji'nde başladı. Hukuk üzerine de çalışan Cayley,
matematiksel araştırmalara ve basılan 200'ün üzerindeki
makalesine daha çok vakit ayırdı. Üniversitedeki statü
değişikliğinden sonra, Cambridge Üniversitesi'nde soyut matematik
üzerine profesör oldu. Çalışmalarına James Josef Sylvester ile
devam etmiş ve birbirlerinin eksik yönlerini tamamladıkları için
çok uyumlu bir ikili olmuşlardır.
En ünlü çalışması cebirsel değişmezler üzerine yaptığı
çalışmadır. Değişmezler kavramı modern fizik, özellikle rölativite
teorisi için çok büyük önem taşır. Cayley'in diğer çalışması, yüksek
boyutlu uzaylar üzerinedir. Öklit olmayan uzay geometrisinde,
Klein'in buluşları için yollar hazırlamıştır.Profesörlüğü sırasında,
bayanların yüksek eğitimde yer alıp, almaması konulu hararetle
tartışılmakta idi. Cayley bu konuya sessiz kalmamış ve bayanların
eğitimde kesinlikle yer alması gerektiğini savunmuş ve başarılı
olmuştu. Cayley ölümüne kadar çalışmalarına devam etmiş ve
geçirdiği uzun ve ağrılı hastalık sonucu ölmüştür. Sadece, Temel
Eliptik Fonksiyonlar adında bir kitap yazmıştır.

ALİ KUŞÇU

Türk-İslam Dünyası astronomi ve matematik alimleri arasında,
ortaya koyduğu eserleriyle haklı bir şöhrete sahip Ali Kuşçu,
Osmanlı Türklerinde, astronominin önde gelen bilgini sayılır.
"Batı ve Doğu Bilim dünyası onu 15. yüzyılda yetişen müstesna
bir alim olarak tanır." Öyle ki; müsteşrik W .Barlhold, Ali Kuşcu'yu
"On Beşinci Yüzyıl Batlamyos'u" olarak adlandırmıştır. Babası,
Uluğ Bey'in kuşcu başısı (doğancıbaşı) idi. Kuşçu soyadı
babasından gelmektedir. Asıl adı Ali Bin Muhammet'tir. Doğum
yeri Maveraünnehir bölgesi olduğu ileri sürülmüşse de, adı
geçen bölgenin hangi şehrinde ve hangi yılda doğduğu kesinlikle
bilinmektedir.
Ancak doğum şehri Semerkant, doğum yılının ise 15. yüzyılın
ilk dörtte biri içerisinde olduğu kabul edilmektedir. 16 Aralık
1474 (h. 7 Şaban 879) tarihinde İstanbul'da ölmüş olup, mezarı
Eyüp Sultan Türbesi hareminde bulunmaktadır. Ölüm tarihi;
torunu meşhur astronom Mirim Çelebi'nin (ölümü, Edirne 1525)
Fransça yazdığı bir eserin incelenmesi sonucu anlaşılmıştır.
Mezar yerinin 1819 yılına kadar belirli olduğu ve hüsnü
muhafazasının yapıldığı; ancak 1819 yılından sonra, Ali Kuşcu'ya
ait mezarın yerine, zamanının nüfuzlu bir devlet adamının mezar
taşının konmuş olduğu anlaşılmaktadır. Uluğ Bey'in Horasan ve
Maveraünnehir hükümdarlığı sırasında, Semerkant'ta ilk ve dini
öğrenimini tamamlamıştır. Küçük yaşta iken astronomi ve
matematiğe geniş ilgi duymuştur.
Devrinin en büyük bilginlerinden; Uluğ Bey , Bursalı Kadızade
Rumi, Gıyaseddün Cemşid ve Mu'in al-Din el-Kaşi'den astronomi
ve matematik dersi almıştır. Önce,Uluğ Bey, tarafından 1421 yılında
kurulan Semerkant Rasathanesi ilk müdürü, Gıyaseddün
Cemşid'in, kısa süre sonra da Rasathanenin ikinci müdürü Kadızade
Rumi'nin ölümü üzerine, Uluğ Bey Rasathane-ye müdür olarak Ali
Kuşcu'yu görevlendirmiştir. Uluğ Bey Ziyc'inin tamamlanmasında
büyük emeği geçmiştir. Nasirüddün Tusi'nin Tecrid-ül Kelam
adlı eserine yazdığı şerh, bu konuda da gayret ve başarısının
en güzel delilini teşkil etmektedir. Ebu Said Han'a ithaf edilen
bu şerh, Ali Kuşcu'nun ilk şöhretinin duyulmasına neden
olmuştur. Kaynakların değerlendirilmesi sonucu anlaşılmaktadır
ki; Ali Kuşcu yalnız telih eseriyle değil, talim ve irşadıyle devrini
aşan bir bilgin olarak tanınmaktadır. Öyle ki; telif eserlerinin dışında,
torunu Mirim Çelebi, Hoca Sinan Paşa ve Molla Lütfi (Sarı Lütfi)
gibi astronomların da yetişmesine sebep olmuştur. Bu bilginlerle
beraber, Ali Kuşcu'yu eski astronominin en büyük bilginlerinden
birisi olarak belirtebiliriz.

İŞLEM

A.TANIM

Herhangi bir A kümesinden A kümesine tanımlanan her fonksiyona birli işlem denir.
A C B olmak üzere, A x A kümesinden B kümesine tanımlanan her fonksiyona ikili işlem veya kısaca işlem denir.
İşemler; + , – , : , x, D ,o,¨ , *, « gibi simgelerle gösterilir.

B. İŞLEMİN ÖZELLİKLERİ
A kümesinde D ve * işlemleri tanımlanmış olsun. Buna göre, aşağıdaki 7 özelliği inceleyelim.

1. Kapalılık Özelliği
" a, b A'elemanı için aDb nin sonucu A kümesinin bir elemanı ise, A kümesi D işlemine göre kapalıdır.

2. Değişme özelliği
" a, b A'elemanı için, aD b = bD a ise, Dişleminin değişme özelliği vardır.

3. Birleşme Özelliği
" a, b, c A'elemanı için aD (b D c) = (Da b) Dc ise, D işleminin birleşme özelliği vardır.

4. Birim (Etkisiz) Eleman Özelliği
" x A'elemanı için, x D e = e D x = x ise, e ye Dişleminin etkisiz elemanı denir.
e A'elemanı ise,D işlemine göre A kümesi birim eleman özelliğine sahiptir.

5. Ters Eleman Özelliği

Dişleminin etkisiz elemanı e olsun.
" a A'elemanı için, aD b = bD a = e olacak biçimde bir b varsa b elemanına işlemine göre a nın tersi denir.
a nın tersi b ise genellikle b = a–1 biçiminde gösterilir.
b A'elemanı ise, D işlemine göre A kümesi ters eleman özelliğine sahiptir.

· Birim elemanın tersi kendisine eşittir.

· Tersi kendisine eşit olan her eleman birim eleman olmayabilir.

6. Dağılma Özelliği
" a, b, c A'elemanı için,
a o (bD c) = (a o b)D(a o c) ise,
o işleminin D işlemi üzerinde soldan dağılma özelliği vardır.
(a D b) o c = (a o c)D(b o c) ise,
o işleminin işlemi üzerinde sağdan dağılma özelliği vardır.
o işleminin D işlemi üzerinde; hem soldan, hem de sağdan dağılma özelliği varsa o işleminin D işlemi üzerinde dağılma özelliği vardır.

7. Yutan Eleman Özelliği
" x A'elemanı içinn, x D y = y D x = y olacak biçimde bir y varsa y ye D işleminin yutan elemanı denir.
y A'elemanı ise, D işlemine göre A kümesi yutan eleman özelliğine sahiptir.
Yutan elemanın tersi yoktur. Fakat tersi olmayan her eleman yutan eleman değildir.

C. TABLO İLE TANIMLANMIŞ İŞLEMLER
A = {a, b, c, d} kümesinde işlemi aşağıdaki tablo ile tanımlanmış olsun.

» b * c nin sonucu bulunurken, başlangıç sütununda b, başlangıç satırında c bulunur. Bunların kesiştiği bölgedeki eleman, b*c nin sonucudur. Buna göre, b * c = a dır.

» Başlangıç satırındaki ve başlangıç sütunundaki elemanların sonuçlarının görüldüğü kısımda A kümesine ait olmayan eleman yoksa A kümesi * işlemine göre kapalıdır.

» Sonuçlar kısmı, köşegene göre simetrik ise, * işleminin değişme özelliği vardır.

» Tablonun sonuçlar kısmında başlangıç sütununun ve başlangıç satırının görüldüğü sütunun ve satırın kesişimin deki eleman etkisiz elemandır.

» Yutan eleman hangi elemanla işleme girerse girsin, sonuç kendisine eşit olur. Bunun için, tablonun sonuçlar kısmında aynı elemandan oluşan satır ve sütun belirlenir. Bulunan yutan elemandır.

D. MATEMATİK SİSTEMLER
1. Tanım
A, boş olmayan bir küme olmak üzere, o işlemi A da tanımlı olsun.
(A, o) ikilisine matematik sistem denir.

2. Grup
A ≠ { }olmak üzere, A kümesinde tanımlı o işlemi aşağıdaki dört koşulu sağlıyorsa, A kümesio işlemine göre bir gruptur.

1. A, o işlemine göre kapalıdır.

2. A üzerinde o işleminin birleşme özelliği vardır.

3. A üzerinde o işleminin birim (etkisiz) elemanı vardır.

4. A üzerinde oişlemine göre her elemanın tersi vardır.

A üzerinde tanımlı o işleminin değişme özelliği de varsa (A,o) sistemi değişmeli gruptur.

3. Halka
A ≠ { }olmak üzere, A kümesi üzerinde tanımlı D ve o işlemleri aşağıdaki üç koşulu sağlıyorsa (A, D, o) sistemi bir halkadır.

1. (A, D) sistemi değişmeli gruptur.

2. A kümesi o işlemine göre kapalıdır.

3. o işleminin D işlemi üzerinde dağılma özelliği vardır.

» o işleminin değişme özelliği de varsa (A, D, o) sistemi değişmeli halkadır.
» o işleminin A kümesinde birim (etkisiz) elemanı da varsa (A, D, o) sistemine birim halka denir.

MUTLAK DEĞER

A. TANIM
Sayı doğrusu üzerinde x reel (gerçel) sayısının orijine olan uzaklığına x in mutlak değeri denir.
|x| biçiminde gösterilir.

Bütün x gerçel (reel) sayıları için, |x| ya sıfıra eşit yada büyüktür.Yani mutlak değerli ifadenin sonucu negatif olamaz.

B. MUTLAK DEĞERİN ÖZELLİKLERİ

1) |x| = |– x| ve |a – b| = |b – a| dır.
2) |x . y| = |x| . |y|
3) |xⁿ| = |x|ⁿ
4) y, 0'dan farklı olmak üzere,

5) |x| – |y| ≤ |x + y| ≤ |x| + |y|
6) x bir reel sayı ve 0≤a olmak üzere,
|x| = a ise, x = a veya x = – a dır.
7) |x| = |y| ise, x = y veya x = – y dir.
8) x değişken a ve b sabit birer reel (gerçel) sayı olmak üzere,

|x – a| + |x – b|

ifadesinin en küçük değeri a ≤ x ≤ b koşuluna uygun bir x değeri için bulunan sonuçtur.

9) x değişken a ve b sabit birer reel (gerçel) sayı olmak üzere,

|x – a| – |x – b|

ifadesinin en küçük değeri x = a için, en büyük değeri ise x = b için bulunur.

10) a, pozitif sabit bir reel sayı olmak üzere,

1. |x| <>

2. |x| ≤ a ise, – a ≤ x ≤ a dır.

11) a, pozitif sabit bir reel sayı olmak üzere,

1. |x| > a ise, x < – a veya x > a dır.

2. |x| ≤ a ise, x ≥ – a veya x ≤a dır.

BAĞINTI

SIRALI n Lİ

n tane nesnenin belli bir öncelik sırasına göre düzenlenip, tek bir nesne gibi düşünülmesiyle elde edilen ifadeye sıralı n li denir.
(a, b) sıralı ikilisinde;
a : Birinci bileşen,
b : İkinci bileşendir.
a, b den farklı ise, (a, b), (b, a) dan farklıdır.
(a, b) = (c, d) ise, (a = c ve b = d) dir.

B. KARTEZYEN ÇARPIM
A ve B herhangi iki küme olmak üzere, birinci bileşeni A kümesinden, ikinci bileşeni B kümesinden alınarak oluşturulan bütün sıralı ikililerin kümesine, A ile B nin kartezyen çarpımı denir.
A kartezyen çarpım B kümesi A x B ile gösterilir.
A x B = {(x, y) : x,A ve y, B nin elemanıdır} dir.
A, B den farklı ise, A x B, B x A dan farklıdır.

C. KARTEZYEN ÇARPIMININ ÖZELLİKLERİ
i) s(A) = m ve s(B) = n ise
s(A x B) = s(B x A) = m . n dir.
ii) A x (B x C) = (A x B) x C
iii) A x (B U C) = (A x B) U (A x C)
iv) (B n C) x A = (B x A) n (C x A)
v) A x (B U C) = (A x B) U (A x C)
vı) A x = O x A = O

Vıı)

D. BAĞINTI
A ve B herhangi iki küme olmak üzere A x B nin her alt kümesine A dan B ye bağıntı denir.
Bağıntı genellikle β biçiminde gösterilir.
β eleman A x B ise, β = {(x, y) : (x, y) eleman A x B} dir.
s(A) = m ve s(B) = n ise,
A dan B ye 2^m.n tane bağıntı tanımlanabilir.
A x A nın herhangi bir alt kümesine A dan A ya bağıntı ya da A da bağıntı denir.
s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere,
A dan B ye tanımlanabilen r elemanlı bağıntı sayısı

β eleman A x B olmak üzere,
β = {(x, y) : (x, y) eleman A x B} bağıntısının tersi
β ^-1 eleman B x A dır.
Buna göre, β bağıntısının tersi
β ^-1 = {(y, x) : (x, y) eleman β } dır.

E. BAĞINTININ ÖZELLİKLERİ
b , A da tanımlı bir bağıntı olsun.

1. Yansıma özelliği
A kümesinin bütün x elemanları için (x, x)
β ise, β yansıyandır.
"x eleman A için, (x, x) eleman β----> β yansıyandır.

2. Simetri özelliği
β bağıntısının bütün (x, y) elemanları için (y, x) eleman β ise, β simetriktir.
"(x, y) eleman β için (y, x) eleman β---->β simetriktir.
β bağıntısı simetrik ise β = β^-1 dir.
s(A) = n olmak üzere, A kümesinde tanımlanabilecek simetrik bağıntı sayısı

s(A) = n olmak üzere, A kümesinde tanımlanabilecek yansıyan bağıntı sayısı 2^{(n2 - n)} dir.

3. Ters Simetri özelliği
β bağıntısı A kümesinde tanımlı olsun.
x, y den farklı iken "(x, y) eleman β için (y, x) eleman değil β ise, β ters simetriktir.
β bağıntısında (x, x) elemanın bulunması ters simetri özelliğini bozmaz.

4. Geçişme özelliği
β , A da tanımlı bir bağıntı olsun.
"[(x, y) eleman β ve (y, z) eleman β] için (x, z) eleman β ise,

olmalı
β bağıntısının geçişme özelliği vardır.

F. BAĞINTI ÇEŞİTLERİ

1. Denklik Bağıntısı
β bağıntısı A kümesinde tanımlı olsun.
β ; Yansıma, Simetri, Geçişme özelliğini sağlıyorsa denklik bağıntısıdır. β denklik bağıntısı ve (x, y) eleman β ise, x denktir. y ye denir.
x denktir a ile ifade edilir
β denklik bağıntısı olmak üzere A da a elemanına denk olan bütün elemanların kümesine a nın denklik sınıfı denir.
–a biçiminde gösterilir.
Buna göre, a nın denklik sınıfının kümesi,
–a = {y : y eleman A ve (a, y) eleman β} olur.

2. Sıralama Bağıntısı
A kümesinde tanımlı b bağıntısında; Yansıma, Ters simetri, Geçişme özelliği varsa bağıntı sıralama bağıntısıdır.

FONKSİYONLAR

A.TANIM

A ve B boştan farklı olmak üzere, A dan B ye bir b bağıntısı verilmiş olsun. A nın her elemanı B nin elemanlarıyla en az bir kez ve en çok bir kez eşleniyorsa bu bağıntıya fonksiyon denir. Fonksiyonlar f ile gösterilir.
" x , A ve y, B nin elemanı olmak üzere, A dan B ye bir f fonksiyonu

f : A --> B ya da x--> f(x) = y biçiminde gösterilir.

Yukarıda A dan B ye tanımlanan f fonksiyonu
f = {(a, 1), (b, 1), (c, 2)... (d, 3)}
biçiminde de gösterilir.

» Her fonksiyon bir bağıntıdır. Fakat her bağıntı fonksiyon olmayabilir.
» Görüntü kümesi değer kümesinin alt kümesidir.
» s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere,

1. A dan B ye n^m tane fonksiyon tanımlanabilir.

2. B den A ya mⁿ tane fonksiyon tanımlanabilir.

3. A dan B ye tanımlanabilen fonksiyon olmayan bağıntıların sayısı 2^{m . n} – n^m dir.

» Grafiği verilen bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını anlamak için, y eksenine paralel doğrular çizilir. Bu doğrular fonksiyonun belirttiği eğride en az bir ve en çok bir noktayı kesi-yorsa verilen bağıntı x ten y ye bir fonksiyondur.

B. FONKSİYONLARDA DÖRT İŞLEM
f ve g birer fonksiyon olsun.

f : A --> IR
g : B --> IR

olmak üzere,

i) f ± g: A n B --> IR

(f ± g)(x) = f(x) ± g(x)

ii) f . g: A U B --> IR

(f . g)(x) = f(x) . g(x)

C. FONKSİYON ÇEŞİTLERİ

1. Bire Bir Fonksiyon
Bir fonksiyonda farklı elemanların görüntüleri de farklıysa fonksiyon bire birdir.
" x₁, x₂ A'nın elemanı , f(x₁) = f(x₂)iken
x₁ = x₂ ise f fonksiyonu bire birdir.Ayrıca x₁≠x₂ için

x₁)≠f(x₂) oldugu takdirde de fonksiyon birebirdir.
ü s(A) = m ve s(B) = n (n ≥ m) olmak üzere,

A dan B ye tanımlanabilecek bire bir fonksiyonların sayısı

2. Örten Fonksiyon
Görüntü kümesi değer kümesine eşit olan fonksiyonlara örten fonksiyon denir.
f : A --> B
f(A) = B ise, f örtendir.
» s(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen bire bir örten fonksiyonların sayısı
ü m! = m . (m – 1) . (m – 2) ... 3 . 2 . 1 dir.

3. İçine Fonksiyon
örten olmayan fonksiyona içine fonksiyon denir.
» İçine fonksiyonun değer kümesinde eşlenmemiş eleman vardır.
» s(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen içine fonksiyonların sayısı
m^m – m! dir.

4. Birim (Etkisiz) Fonksiyon
Her elemanı kendisine eşleyen fonksiyona birim fonksiyon denir.
f : IR --> IR
f(x) = x
birim (etkisiz) fonksiyondur.
» Birim fonksiyon genellikle I ile gösterilir.

5. Sabit Fonksiyon
Tanım kümesindeki bütün elemanları değer kümesindeki bir elemana eşleyen fonksiyona sabit fonksiyon denir.
» "x, A'nın elemanı ve c'de B'nin elemanı için

f : A --> B
f(x) = c

fonksiyonu sabit fonksiyondur.
ü s(A) = m, s(B) = n olmak üzere,
A dan B ye n tane sabit fonksiyon tanımlanabilir.

6. Çift ve Tek Fonksiyon
f : IR --> IR
f(– x) = f(x) ise, f fonksiyonu çift fonksiyondur.
f(– x) = – f(x) ise, f fonksiyonu tek fonksiyondur.
» çift fonksiyonların grafikleri Oy eksenine göre simetriktir.
» Tek fonksiyonların grafikleri orijine göre simetriktir.

D. EŞİT FONKSİYON

f : A --> B
g : A --> B

"x, A'nın elemanı için f(x) = g(x) ise, f fonksiyonu g fonksiyonuna eşittir.

E. PERMÜTASYON FONKSİYONU

f : A --> A

olmak üzere, f fonksiyonu bire bir ve örten ise, f fonksiyonuna permütasyon fonksiyon denir.
A = {a, b, c} olmak üzere, f : A --> A
f = {(a, b), (b, c), (c, a)}
fonksiyonu permütasyon fonksiyon olup


F. TERS FONKSİYON
f fonksiyonu bire bir ve örten ise, f nin tersi olan f ^{- 1} de fonksiyondur.

» Uygun koşullarda, f(a) = b ve f ^{- 1}(b) = a dır.
» f : IR --> IR, f(x) = ax + b ise, f ^{– 1}(x) = (x-b)/a dır.
»

» (f ^{– 1}) ^{– 1} = f dir.

» (f ^{– 1}(x)) ^{– 1} ¹ f(x) tir.
» y = f(x) in belirttiği eğri ile y = f ^{– 1}(x) in belirttiği eğri y = x doğrusuna göre simetriktir.
» B, IR'nin alt kümesi olmak üzere,

» B, IR'nin alt kümesi olmak üzere,

G. BİLEŞKE FONKSİYON
1. Tanım

f : A --> B
g : B --> C

olmak üzere, gof : A --> C fonksiyonuna f ile g nin bileşke fonksiyonu denir ve g bileşke f diye okunur.

(gof)(x) = g[f(x)] tir.

2. Bileşke Fonksiyonun Özellikleri

i) Bileşke işleminin değişme özelliği yoktur.

fog ≠ gof

Bazı fonksiyonlar için fog= gof olabilir. Fakat bu bileşke işleminin değişme özelliği olmadığını değiştirmez.

ii) Bileşke işleminin birleşme özelliği vardır.

fo(goh) = (fog)oh = fogoh

iii) foI = Iof = f
olduğundan I(x) = x fonksiyonu bileşke işleminin birim (etkisiz) elemanıdır.

iv) fof ^{– 1} = f ^{– 1}of = I
olduğundan f nin bileşke işlemine göre tersi f – 1 dir.

v) (fog) ^{– 1} = g ^{– 1}of ^{– 1} dir.