FONKSİYONLAR

A.TANIM

A ve B boştan farklı olmak üzere, A dan B ye bir b bağıntısı verilmiş olsun. A nın her elemanı B nin elemanlarıyla en az bir kez ve en çok bir kez eşleniyorsa bu bağıntıya fonksiyon denir. Fonksiyonlar f ile gösterilir.
" x , A ve y, B nin elemanı olmak üzere, A dan B ye bir f fonksiyonu

f : A --> B ya da x--> f(x) = y biçiminde gösterilir.

Yukarıda A dan B ye tanımlanan f fonksiyonu
f = {(a, 1), (b, 1), (c, 2)... (d, 3)}
biçiminde de gösterilir.

» Her fonksiyon bir bağıntıdır. Fakat her bağıntı fonksiyon olmayabilir.
» Görüntü kümesi değer kümesinin alt kümesidir.
» s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere,

1. A dan B ye n^m tane fonksiyon tanımlanabilir.

2. B den A ya mⁿ tane fonksiyon tanımlanabilir.

3. A dan B ye tanımlanabilen fonksiyon olmayan bağıntıların sayısı 2^{m . n} – n^m dir.

» Grafiği verilen bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını anlamak için, y eksenine paralel doğrular çizilir. Bu doğrular fonksiyonun belirttiği eğride en az bir ve en çok bir noktayı kesi-yorsa verilen bağıntı x ten y ye bir fonksiyondur.

B. FONKSİYONLARDA DÖRT İŞLEM
f ve g birer fonksiyon olsun.

f : A --> IR
g : B --> IR

olmak üzere,

i) f ± g: A n B --> IR

(f ± g)(x) = f(x) ± g(x)

ii) f . g: A U B --> IR

(f . g)(x) = f(x) . g(x)

C. FONKSİYON ÇEŞİTLERİ

1. Bire Bir Fonksiyon
Bir fonksiyonda farklı elemanların görüntüleri de farklıysa fonksiyon bire birdir.
" x₁, x₂ A'nın elemanı , f(x₁) = f(x₂)iken
x₁ = x₂ ise f fonksiyonu bire birdir.Ayrıca x₁≠x₂ için

x₁)≠f(x₂) oldugu takdirde de fonksiyon birebirdir.
ü s(A) = m ve s(B) = n (n ≥ m) olmak üzere,

A dan B ye tanımlanabilecek bire bir fonksiyonların sayısı

2. Örten Fonksiyon
Görüntü kümesi değer kümesine eşit olan fonksiyonlara örten fonksiyon denir.
f : A --> B
f(A) = B ise, f örtendir.
» s(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen bire bir örten fonksiyonların sayısı
ü m! = m . (m – 1) . (m – 2) ... 3 . 2 . 1 dir.

3. İçine Fonksiyon
örten olmayan fonksiyona içine fonksiyon denir.
» İçine fonksiyonun değer kümesinde eşlenmemiş eleman vardır.
» s(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen içine fonksiyonların sayısı
m^m – m! dir.

4. Birim (Etkisiz) Fonksiyon
Her elemanı kendisine eşleyen fonksiyona birim fonksiyon denir.
f : IR --> IR
f(x) = x
birim (etkisiz) fonksiyondur.
» Birim fonksiyon genellikle I ile gösterilir.

5. Sabit Fonksiyon
Tanım kümesindeki bütün elemanları değer kümesindeki bir elemana eşleyen fonksiyona sabit fonksiyon denir.
» "x, A'nın elemanı ve c'de B'nin elemanı için

f : A --> B
f(x) = c

fonksiyonu sabit fonksiyondur.
ü s(A) = m, s(B) = n olmak üzere,
A dan B ye n tane sabit fonksiyon tanımlanabilir.

6. Çift ve Tek Fonksiyon
f : IR --> IR
f(– x) = f(x) ise, f fonksiyonu çift fonksiyondur.
f(– x) = – f(x) ise, f fonksiyonu tek fonksiyondur.
» çift fonksiyonların grafikleri Oy eksenine göre simetriktir.
» Tek fonksiyonların grafikleri orijine göre simetriktir.

D. EŞİT FONKSİYON

f : A --> B
g : A --> B

"x, A'nın elemanı için f(x) = g(x) ise, f fonksiyonu g fonksiyonuna eşittir.

E. PERMÜTASYON FONKSİYONU

f : A --> A

olmak üzere, f fonksiyonu bire bir ve örten ise, f fonksiyonuna permütasyon fonksiyon denir.
A = {a, b, c} olmak üzere, f : A --> A
f = {(a, b), (b, c), (c, a)}
fonksiyonu permütasyon fonksiyon olup


F. TERS FONKSİYON
f fonksiyonu bire bir ve örten ise, f nin tersi olan f ^{- 1} de fonksiyondur.

» Uygun koşullarda, f(a) = b ve f ^{- 1}(b) = a dır.
» f : IR --> IR, f(x) = ax + b ise, f ^{– 1}(x) = (x-b)/a dır.
»

» (f ^{– 1}) ^{– 1} = f dir.

» (f ^{– 1}(x)) ^{– 1} ¹ f(x) tir.
» y = f(x) in belirttiği eğri ile y = f ^{– 1}(x) in belirttiği eğri y = x doğrusuna göre simetriktir.
» B, IR'nin alt kümesi olmak üzere,

» B, IR'nin alt kümesi olmak üzere,

G. BİLEŞKE FONKSİYON
1. Tanım

f : A --> B
g : B --> C

olmak üzere, gof : A --> C fonksiyonuna f ile g nin bileşke fonksiyonu denir ve g bileşke f diye okunur.

(gof)(x) = g[f(x)] tir.

2. Bileşke Fonksiyonun Özellikleri

i) Bileşke işleminin değişme özelliği yoktur.

fog ≠ gof

Bazı fonksiyonlar için fog= gof olabilir. Fakat bu bileşke işleminin değişme özelliği olmadığını değiştirmez.

ii) Bileşke işleminin birleşme özelliği vardır.

fo(goh) = (fog)oh = fogoh

iii) foI = Iof = f
olduğundan I(x) = x fonksiyonu bileşke işleminin birim (etkisiz) elemanıdır.

iv) fof ^{– 1} = f ^{– 1}of = I
olduğundan f nin bileşke işlemine göre tersi f – 1 dir.

v) (fog) ^{– 1} = g ^{– 1}of ^{– 1} dir.